Nganong dili nato bahinon sa zero?
Mga sulod
Mahimong maghunahuna ang mga magbabasa ngano nga gigahin nako ang usa ka tibuuk nga artikulo sa ingon nga usa ka banal nga isyu? Ang hinungdan mao ang makapakurat nga gidaghanon sa mga estudyante (!) nga kaswal nga nagpahigayon sa operasyon ubos sa ngalan. Ug dili lang mga estudyante. Usahay makadakop ko ug mga magtutudlo. Unsa ang mahimo sa mga estudyante sa ingon nga mga magtutudlo sa matematika? Ang dali nga hinungdan sa pagsulat niini nga teksto mao ang usa ka panag-istoryahanay sa usa ka magtutudlo nga ang pagbahin sa zero dili usa ka problema ...
Sa zero, oo, gawas sa kahasol nga wala’y bisan unsa, tungod kay dili gyud naton kinahanglan nga gamiton kini sa adlaw-adlaw nga kinabuhi. Dili mi mamalit og zero nga itlog. Ang "Adunay usa ka tawo sa kwarto" ingon og natural, ug ang "zero nga mga tawo" paminawon nga artipisyal. Ang mga lingguwista nag-ingon nga ang sero kay gawas sa sistema sa pinulongan.
Mahimo usab nato nga wala ang zero sa mga bank account: gamita lang - sama sa thermometer - pula ug asul alang sa positibo ug negatibo nga mga bili (timan-i nga alang sa temperatura natural nga gamiton ang pula alang sa positibo nga mga numero, ug alang sa mga bank account kini mao ang laing paagi sa palibot, tungod kay ang debit kinahanglan nga mag-trigger sa usa ka pasidaan, mao nga pula kaayo girekomendar).
Pinaagi sa paglakip sa zero isip natural nga numero, atong gihikap ang problema sa pagkalahi Mga numero sa kardinal od panimalay. Sulod sa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
ang gahum sa numero parehas sa numero sa lugar diin kini nagbarog. Kung dili, naa na kini sa han-ay 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Ang gidaghanon sa singleton set moabut sa ikaduha, ang gidaghanon sa mga set nga adunay duha ka elemento moabut sa ikatulo, ug uban pa. Kinahanglan namon nga ipasabut kung ngano, pananglitan, wala namon giihap ang mga lugar sa mga atleta sa mga kompetisyon gikan sa wala. Unya ang mananaog sa unang dapit makadawat ug silver nga medalya (bulawan miadto sa zero-place winner), ug uban pa. Medyo susama nga pamaagi ang gigamit sa football - Wala ko kabalo kung nasayod ba ang mga Readers nga ang "league one" nagpasabot " pagsunod sa labing maayo." ", ug ang zero league gitawag nga mahimong "major league".
Usahay makadungog kita sa argumento nga kinahanglan natong sugdan gikan sa wala, tungod kay kini sayon alang sa mga tawo sa IT. Ang pagpadayon niini nga mga konsiderasyon, ang kahulugan sa usa ka kilometro kinahanglan nga usbon - kini kinahanglan nga 1024 m, tungod kay kini ang gidaghanon sa mga byte sa usa ka kilobyte (Ako maghisgot sa usa ka joke nga nahibal-an sa mga computer scientist: "Unsa ang kalainan tali sa usa ka freshman ug usa ka estudyante sa computer science ug usa ka ikalimang tuig nga estudyante sa kini nga faculty? nga ang usa ka kilobyte 1000 kilobytes, ang katapusan - nga ang usa ka kilometro mao ang 1024 metros")!
Ang laing punto sa panglantaw, nga kinahanglan na nga seryosohon, mao kini: kanunay natong sukdon gikan sa wala! Igo na ang pagtan-aw sa bisan unsang timbangan sa magmamando, sa mga timbangan sa panimalay, bisan sa orasan. Tungod kay nagsukod kita gikan sa sero, ug ang pag-ihap mahimong sabton ingon nga usa ka sukod nga adunay walay sukat nga yunit, nan kita kinahanglan nga mag-ihap gikan sa sero.
Simple ra nga butang, pero...
Atong biyaan ang kinatibuk-ang pangatarungan ug mobalik sa dibisyon sa zero. Ang butang yano ug kini mahimong yano kung dili tungod sa ... busa unsa man? Atong hunahunaon ug sulayan. Pila ang mahimo niini - usa nga gibahin sa zero? Atong tan-awon: 1/0 = x. I-multiply ang duha ka kilid sa denominator sa wala nga kilid.
Atong makuha ang 1=0. Adunay dili maayo! Unsay nahitabo? Ah ambot! Ang pangagpas nga adunay quotient sa panaghiusa ug zero mosangpot sa panagsumpaki. Ug kung ang usa dili mabahin sa sero, mahimo ang lain nga numero. Kung, Magbabasa, mokiyhoy ka sa imong mga abaga ug maghunahuna kung ngano nga ang tagsulat (nga mao, ako) nagsulat bahin sa ingon nga mga pagbiaybiay, nan ... Nalipay kaayo ako!
Ang pormula nga 0/0 = 0 mahimong madepensahan sa usa ka matig-a nga basehan, apan kini sukwahi sa lagda nga ang resulta sa pagbahin sa usa ka numero sa iyang kaugalingon katumbas sa usa. Hingpit, apan lahi kaayo ang mga simbolo sama sa 0/0, °/° ug susama sa calculus. Wala sila magpasabot ug bisan unsang numero, apan simbolikong mga ngalan alang sa partikular nga han-ay sa pipila ka matang.
Sa usa ka libro sa electrical engineering, nakit-an nako ang usa ka makapaikag nga pagtandi: ang pagbahin sa zero sama ka peligro sa taas nga boltahe nga kuryente. Normal kini: Ang balaod sa Ohm nag-ingon nga ang ratio sa boltahe ngadto sa pagsukol parehas sa kasamtangan: V = U / R. Kung ang pagsukol zero, usa ka teoretikal nga walay kinutuban nga kasamtangan ang modagayday sa konduktor, nga magsunog sa tanan nga posible nga mga konduktor.
Nagsulat ako usa ka balak bahin sa mga kapeligrohan sa pagbahin sa zero alang sa matag adlaw sa semana. Nahinumdom ko nga ang labing katingad-an nga adlaw mao ang Huwebes, apan sayang ang tanan nakong trabaho sa kini nga lugar.
Kung imong bahinon ang usa ka butang sa zero
Sayo kaayo sa Lunes
Semana ang nahitabo
Napakyas ka na pag-ayo.
Sa dihang Martes sa hapon
Gibutang nimo ang zero sa denominator
Ingna ko nimo, nasayop ka
Daotan nga mathematician!
Kung pinaagi sa zero, pinaagi sa kahiwian,
Gusto magbulag sa Miyerkules
Makasulod ka sa daghang kasamok
Naa kay hay ug tubig sa imong ulo!
Usa ka Bartek ang kauban namo.
Supak siya sa mga lagda.
Sa Huwebes, kini mabahin sa zero.
Wala na siya sa among taliwala!
Kung ang usa ka katingad-an nga tinguha mohawid kanimo
Bahina sa sero sa Biyernes
Magmatinud-anon ko, magmatinud-anon ko:
Dili maayo nga pagsugod karong semanaha.
Kung zero, sa usa ka dapit sa Sabado
Ang divider maimo (dili bold)
Luhod ilalom sa koral sa simbahan.
Kini mao ang imong pagkabanhaw.
Gusto ba nimo nga zero sa ilawom sa dash,
Paghimo og holiday sa Domingo
Pagdala og chalk, black board.
Isulat: kini dili mabahin sa zero!
Ang zero nalangkit sa kahaw-ang ug pagkawalay kapuslanan. Sa pagkatinuod, mianhi siya sa matematika isip usa ka gidaghanon nga, kon idugang sa bisan unsa, dili makausab niini: x + 0 = x. Apan karon ang zero makita sa daghang uban pang mga kantidad, labi na sa pagsugod sa scale. Kung sa gawas sa bintana wala’y positibo nga temperatura o katugnaw, nan ... kini zero, nga wala magpasabut nga wala’y temperatura. Ang usa ka zero-class nga monumento dili usa nga naguba sa dugay nga panahon ug wala gyud. Sa kasukwahi, kini sama sa Wawel, Eiffel Tower ug Statue of Liberty.
Buweno, ang kahinungdanon sa zero sa usa ka positional system halos dili ma-overestimate. Nahibal-an ba nimo, Magbabasa, pila ang mga sero ni Bill Gates sa iyang bank account? Wala ko kabalo, pero gusto nako katunga. Dayag, namatikdan ni Napoleon Bonaparte nga ang mga tawo sama sa mga sero: nakuha nila ang kahulogan pinaagi sa posisyon. Sa As the Years, As the Days Pass ni Andrzej Wajda, ang madasigon nga artista nga si Jerzy mibuto: "Philister is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." Apan ang zero mahimong maayo: "zero deviation gikan sa naandan" nagpasabut nga maayo ang tanan, ug ipadayon kini!
Balik ta sa matematika. Ang zero mahimong idugang, ibawas ug padaghanon nga walay silot. "Nakuha nako ang zero kilo," ingon ni Manya kang Anya. "Ug kini makapaikag, tungod kay nawala ang parehas nga gibug-aton," tubag ni Anya. Mao nga unom ka beses kita mokaon ug unom ka zero servings sa ice cream, dili kini makadaot kanato.
Dili kita makabahin sa zero, apan mahimo natong bahinon sa zero. Ang usa ka plato nga zero dumplings dali nga ihatag sa mga naghulat sa pagkaon. Pila ang makuha sa matag usa?
Ang zero dili positibo o negatibo. Kini ug ang numero dili positiboи dili negatibo. Gitagbaw niini ang mga dili managsama nga x≥0 ug x≤0. Ang kontradiksyon nga "usa ka butang nga positibo" dili "usa ka butang nga negatibo", apan "usa ka butang nga negatibo o katumbas sa zero". Ang mga matematiko, sukwahi sa mga lagda sa pinulongan, kanunay nga moingon nga ang usa ka butang "katumbas sa zero" ug dili "zero." Aron ipakamatarung kini nga praktis, aduna kitay: kung atong basahon ang pormula x = 0 "x is zero", unya x = 1 atong basahon ang "x is equal to one", nga mahimong matulon, apan komosta ang "x = 1534267"? Dili ka usab maka-assign ug numeric value sa karakter 00ni ipataas ang zero ngadto sa negatibong gahum. Sa laing bahin, mahimo nimong gamut ang zero sa gusto ... ug ang resulta kanunay nga zero.
Exponential function y = ax, ang positibo nga base sa a, dili mahimong sero. Kini nagsunod nga walay zero logarithm. Sa pagkatinuod, ang logarithm sa a ngadto sa base b mao ang exponent diin ang base kinahanglang ipataas aron makuha ang logarithm sa a. Alang sa a = 0, walay ingon nga timailhan, ug ang zero dili mahimong base sa logarithm. Apan, ang sero sa "denominator" sa simbolo ni Newton kay lain. Nagtuo kami nga kini nga mga kombensiyon dili mosangpot sa panagsumpaki.
bakak nga ebidensya
Ang division by zero kay komon nga subject para sa bakak nga mga pruweba, ug kini mahitabo bisan sa eksperyensiyadong mga mathematician. Hatagan ko ikaw og duha sa akong paborito nga mga ehemplo. Ang una kay algebraic. Akong "pamatud-an" nga ang tanan nga mga numero managsama. Ibutang ta nga adunay duha ka numero nga dili managsama. Busa, ang usa kanila mas dako kay sa usa, himoa nga ang a > b. Atong hunahunaon nga c ang ilang kalainan
c \uXNUMXd a - b. Busa kita adunay a - b = c, diin a = b + c.
Gipadaghan namo ang duha ka bahin sa naulahi sa a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Gihubad nako ang ak sa wala nga bahin, siyempre nahinumdom ko bahin sa pagbag-o sa timaan:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Gidili nako ang kasagarang mga hinungdan:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Gipaambit nako ug naa nako ang akong gusto:
a = b.
Ug sa tinuod bisan sa estranghero, tungod kay ako nagtuo nga ang a > b, ug nakuha ko nga a = b. Kon sa panig-ingnan sa ibabaw "pagpanikas" mao ang sayon sa pag-ila, nan sa geometric nga pamatuod sa ubos dili kaayo sayon. Akong pamatud-an nga ... ang trapezoid wala maglungtad. Ang numero nga sagad gitawag nga trapezoid wala maglungtad.
Apan hunahunaa una nga adunay usa ka butang sama sa usa ka trapezoid (ABCD sa numero sa ubos). Kini adunay duha ka parallel nga kilid ("mga base"). Atong i-stretch kini nga mga base, ingon sa gipakita sa litrato, aron makakuha kita usa ka paralelogram. Ang mga diagonal niini nagbahin sa lain nga diagonal sa trapezoid ngadto sa mga bahin kansang mga gitas-on gipunting nga x, y, z, sama sa hulagway 1. Gikan sa kaamgiran sa katugbang nga mga triangles, atong makuha ang mga proporsyon:
diin atong gihubit:
Oraz
diin atong gihubit:
Kuhaa ang mga kilid sa pagkaparehas nga gimarkahan og mga asterisk:
Pagpamubo sa duha ka kilid sa x − z, atong makuha – a/b = 1, nga nagpasabot nga a + b = 0. Apan ang mga numero a, b mao ang gitas-on sa mga base sa trapezoid. Kung ang ilang kantidad zero, nan sila usab zero. Kini nagpasabot nga ang usa ka numero sama sa usa ka trapezoid dili maglungtad! Ug tungod kay ang mga rektanggulo, mga rhombus ug mga kwadro mga trapezoid usab, nan, minahal nga Magbabasa, wala'y mga rhombus, mga rektanggulo ug mga kwadro ...
Tag-ana Tag-ana
Ang pagpaambit sa impormasyon mao ang labing makaiikag ug mahagiton sa upat ka batakang kalihokan. Dinhi, sa unang higayon, makasugat kita og usa ka panghitabo nga komon kaayo sa pagkahamtong: "tag-ana ang tubag, ug dayon susiha kon husto ka ba." Kini haom kaayo nga gipahayag ni Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, sa How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
Kini nga paagi sa "pagtag-an" dili makabalda sa atong hamtong nga kinabuhi - tingali tungod kay kita nakakat-on niini og sayo ug ang pagtag-an dili lisud. Sa ideolohikal, ang parehas nga panghitabo mahitabo, pananglitan, sa mathematical (kompleto) induction. Sa samang dapit, atong “tag-an” ang pormula ug dayon susihon kon husto ba ang atong tagna. Ang mga estudyante kanunay mangutana: “Giunsa namo pagkahibalo sa sumbanan? Unsaon man pagkuha niini?" Sa diha nga ang mga estudyante mangutana kanako niini nga pangutana, akong himoon ang ilang pangutana ngadto sa usa ka komedya: "Nahibal-an ko kini tungod kay ako usa ka propesyonal, tungod kay ako gibayran aron makahibalo." Ang mga estudyante sa eskuylahan mahimong tubagon sa parehas nga istilo, labi ka seryoso.
Pag-ehersisyo. Timan-i nga magsugod kita sa pagdugang ug sinulat nga pagpadaghan sa pinakaubos nga yunit, ug pagbahin nga adunay pinakataas nga yunit.
Usa ka kombinasyon sa duha ka ideya
Kanunay nga gipunting sa mga magtutudlo sa matematika nga ang gitawag namon nga panagbulag sa mga hamtong mao ang panaghiusa sa duha nga magkalainlain nga konsepto nga mga ideya: Housing i panagbulag.
Ang una (Housing) mahitabo sa mga buluhaton diin ang archetype mao ang:
Divide-divide Kini ang mga buluhaton sama sa:
? (Gipabilin namo ang orihinal nga estilo niini nga problema, nga gikuha gikan sa handbook ni Julian Zgozalewicz nga gipatik sa Krakow niadtong 1892 - ang złoty mao ang Rhenish złoty, ang kwarta nga anaa sa sirkulasyon sa Austro-Hungarian Empire hangtud sa sinugdanan sa ika-XNUMX nga siglo).
Karon tagda ang duha ka problema sa ang labing karaan nga libro sa matematika sa Polish, amahan nga si Tomasz Clos (1538). Kini ba usa ka dibisyon o usa ka coupe? Pagsulbad niini sa paagi nga ang mga estudyante sa ika-XNUMX nga siglo kinahanglan:
(Polish to Polish nga hubad: Adunay usa ka quart ug upat ka kaldero sa usa ka baril. Ang usa ka kolon upat ka litro. Adunay mipalit ug 20 ka baril nga bino sa 50 zł alang sa patigayon. Ang katungdanan ug buhis (excise?) mahimong 8 zł. Pila ang ibaligya ang usa ka litro aron mokita og 8 zł?)
Sports, physics, congruence
Usahay sa sports kinahanglan nimo nga bahinon ang usa ka butang sa zero (goal ratio). Aw, ang mga maghuhukom sa usa ka paagi nag-atubang niini. Bisan pa, sa abstract algebra naa sila sa agenda. dili-zero nga gidaghanonkansang square mao ang sero. Mahimo pa gani kini ipasabut sa yano.
Hunahunaa ang usa ka function F nga nag-asoy sa usa ka punto (y, 0) sa usa ka punto sa eroplano (x, y). Unsa ang F2, nga mao, usa ka doble nga pagpatay sa F? Zero function - ang matag punto adunay imahe (0,0).
Sa kataposan, ang dili-zero nga gidaghanon kansang kuwadrado maoy 0 halos adlaw-adlaw nga pan alang sa mga pisiko, ug ang mga numero sa porma nga a + bε, diin ε ≠ 0, apan ε2 = 0, tawag sa mga mathematician doble nga numero. Kini mahitabo sa mathematical analysis ug sa differential geometry.
Sa pagkatinuod, adunay usa ka butang sa aritmetika nga adunay dibisyon sa zero sa labing menos sa ngalan. Naggikan kini pagkahiusa. Ipaila sa Z ang hugpong sa mga integer. Ang pagbahin sa set Z pinaagi sa p nagpasabot nga atong iparehas ang matag numero (integer) ngadto sa uban, nga mao, niadtong diin ang ilang kalainan mabahin. Busa, kung kita adunay lima ka matang sa mga numero nga katumbas sa mga numero 0, 1, 2, 3, 4 - ang posible nga mga nahabilin kung gibahin sa 5. Ang pormula gisulat sama niini:
mod kung ang kalainan usa ka multiple.
Para sa = 2, aduna lang kitay duha ka numero: 0 ug 1. Ang pagbahin sa integer ngadto sa duha sa maong mga klase maoy katumbas sa pagbahin kanila ngadto sa even ug odd. Ilisan nato karon. Ang kalainan kanunay nga mabahin sa 1 (bisan unsang integer mabahin sa 1). Posible ba nga kuhaon ang = 0? Atong sulayan: kanus-a ang kalainan sa duha ka numero usa ka multiple sa sero? Lamang kon kini nga duha ka mga numero managsama. Busa ang pagbahin sa usa ka hugpong sa mga integer sa zero makatarunganon, apan kini dili makapaikag: walay mahitabo. Bisan pa, kinahanglan nga hatagan og gibug-aton nga dili kini pagbahinbahin sa mga numero sa kahulugan nga nahibal-an gikan sa elementarya.
Ang ingon nga mga aksyon gidili, ingon man ang taas ug lapad nga matematika.
bugas. 2. Pag-ila sa mga numero gamit ang pagtandi
(mode 5 ug mode 2)
