Pagbiyahe ngadto sa dili tinuod nga kalibutan sa matematika

Gisulat ko kini nga artikulo sa usa sa mga palibot, pagkahuman sa usa ka lecture ug praktis sa usa ka kolehiyo sa computer science. Gipanalipdan nako ang akong kaugalingon batok sa pagsaway sa mga estudyante niini nga eskwelahan, sa ilang kahibalo, kinaiya sa siyensya, ug labaw sa tanan: mga kahanas sa pagtudlo. Kini... walay nagtudlo kanila.

Nganong defensive man kaayo ko? Sa usa ka yano nga rason - naa ko sa edad nga, tingali, ang kalibutan sa akong palibot wala pa masabtan. Tingali tudloan ko sila kung unsaon pag-harness ug pagtangtang sa mga kabayo, imbes nga magmaneho og awto? Tingali gitudloan ko sila sa pagsulat gamit ang quill pen? Bisan tuod ako adunay mas maayo nga opinyon sa tawo, ako nagtuo nga ako "misunod", apan...

Hangtud bag-o lang, sa high school sila naghisgot bahin sa komplikado nga mga numero. Ug kini nga Miyerkules nga ako mipauli, mihunong - halos wala pa sa mga estudyante ang nakakat-on kung unsa kini ug kung giunsa paggamit kini nga mga numero. Ang ubang mga tawo nagtan-aw sa tanang matematika sama sa usa ka gansa sa pinintalan nga pultahan. Pero nasurprisa sab ko sa dihang gisultihan ko nila unsaon pagkat-on. Sa yano nga pagkasulti, ang matag oras sa lektyur duha ka oras nga pagtuon sa balay: pagbasa sa usa ka libro, pasiuna nga pagbansay sa pagsulbad sa mga problema sa usa ka hilisgutan, ug uban pa. Sa pag-andam niini nga paagi, mianhi kami sa mga ehersisyo, diin among gipauswag ang tanan... Nalipay, ang mga estudyante dayag nga naghunahuna nga ang paglingkod sa usa ka lektyur - kanunay nga nagtan-aw sa bintana - naggarantiya na nga ang kahibalo mosulod sa ulo.

Hunong! Igo na niini. Akong ihulagway ang akong tubag sa usa ka pangutana nga akong nadawat atol sa usa ka klase uban sa mga kauban gikan sa National Children's Fund, usa ka institusyon nga nagsuporta sa mga talento nga mga bata gikan sa tibuok nasud. Ang pangutana (o hinoon ang sugyot) mao ang:

— Makasulti ka ba kanamo bahin sa dili tinuod nga mga numero?

“Siyempre,” tubag nako. 

Ang kamatuoran sa mga numero

"Ang usa ka higala usa pa kanako, ang panaghigalaay mao ang ratio sa mga numero 220 ug 284," ingon ni Pythagoras. Ang punto dinhi mao nga ang sum sa mga divisors sa numero 220 mao ang 284, ug ang sum sa mga divisors sa numero 284 mao ang 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Sa laing bahin, atong matikdan nga ang biblikanhong si Jacob mihatag kang Esau ug 220 ka karnero ug laking karnero ingong timaan sa panaghigalaay (Genesis 32:14). ).

Ang laing makaiikag nga sulagma tali sa mga numero 220 ug 284 mao kini: ang napulog pito ka pinakataas nga prime nga numero mao ang 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ug 59.

Ang ilang sum mao ang 2x220 ug ang sum sa mga kuwadro kay 59x284.

Una. Walay konsepto sa "tinuod nga numero". Kini sama sa pagkahuman sa pagbasa sa usa ka artikulo bahin sa mga elepante mangutana ka, "Karon mangayo kami alang sa mga dili elepante." Adunay tibuok ug dili kompleto, makatarunganon ug dili makatarunganon, apan walay dili tinuod. Sa partikular: Ang mga numero nga dili tinuod wala gitawag nga dili balido. Adunay daghang mga matang sa "mga numero" sa matematika, ug sila lahi sa usag usa, sama sa - sa pagkuha sa usa ka zoological pagtandi - usa ka elepante ug usa ka earthworm.

Ikaduha, maghimo kami og mga operasyon nga mahimo nimong nahibal-an nga gidili: pagkuha sa square roots sa negatibo nga mga numero. Aw, mabuntog sa matematika ang maong mga babag. Makataronganon ba kini? Sa matematika, sama sa bisan unsang ubang siyensya: kung ang usa ka teorya hangtod sa hangtod nga mosulod sa tipiganan sa kahibalo nagdepende ... sa aplikasyon niini. Kung kini walay kapuslanan, nan kini matapos sa basurahan, unya sa pipila ka basura sa kasaysayan sa kahibalo. Kung wala ang mga numero nga akong gihisgutan sa katapusan sa kini nga artikulo, imposible nga mapalambo ang matematika. Apan magsugod kita sa pipila ka gagmay nga mga butang. Nahibal-an nimo kung unsa ang tinuod nga mga numero. Gipuno nila ang linya sa numero nga hugot ug walay mga kal-ang. Nahibal-an usab nimo kung unsa ang natural nga mga numero: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - silang tanan dili mohaum sa memorya bisan ang pinakadako. Adunay usab sila usa ka matahum nga ngalan: natural. Sila adunay daghan kaayo nga makapaikag nga mga kabtangan. Giunsa nimo kini gusto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Natural ang pagkainteresado sa natural nga mga numero,” miingon si Karl Lindenholm, ug si Leopold Kronecker (1823–1891) sa mubo nga pagkasulti: “Gilalang sa Diyos ang natural nga mga numero—ang tanan buhat sa tawo!” Ang mga tipik (gitawag nga rational nga mga numero sa mga mathematician) adunay mga katingalahang kabtangan:

ug sa pagkaparehas:

mahimo nimo, sugod sa wala nga kilid, i-rub ang mga plus ug pulihan kini sa mga timailhan sa pagpadaghan - ug ang pagkaparehas magpabilin nga tinuod:

Ug sa ingon.

Sama sa imong nahibal-an, alang sa mga tipik nga a/b, diin ang a ug b mga integer, ug b ≠ 0, sila nag-ingon rational nga numero. Apan sa Polish lang sila nagtawag sa ilang kaugalingon nga ingon niana. Nagsulti sila og English, French, German ug Russian. rational nga numero. Sa English: rational nga mga numero. Dili makatarunganon nga mga numero kini dili makatarunganon, dili makatarunganon. Nagsulti usab kami sa Polish bahin sa dili makatarunganon nga mga teorya, ideya ug buhat - kini usa ka kabuang, hinanduraw, dili masabtan. Giingon nila nga ang mga babaye nahadlok sa mga ilaga - dili ba kana dili makatarunganon?

Sa karaang mga panahon, ang mga numero adunay kalag. Ang matag usa adunay kahulogan, ang matag usa nagsimbolo sa usa ka butang, ang matag usa nagpakita sa usa ka partikulo sa panag-uyon sa Uniberso, nga mao, sa Griyego, ang Cosmos. Ang mismong pulong nga "kosmos" nagpasabot sa tukma nga "kahusay, kahusay". Ang labing importante mao ang unom (ang hingpit nga numero) ug napulo, ang sumada sa sunud-sunod nga mga numero 1+2+3+4, nga gilangkoban sa ubang mga numero, ang simbolismo niini nagpabilin hangtod karon. Busa gitudlo ni Pythagoras nga ang mga numero mao ang sinugdanan ug tinubdan sa tanan, ug ang pagkadiskobre lamang dili makatarunganon nga mga numero ang kalihukan sa Pythagorean ngadto sa geometry. Nahibal-an namon ang pangatarungan gikan sa eskuylahan

Ang √2 kay dili makatarunganon nga numero

Kay pananglit nga adunay: ug nga kini nga tipik dili mapakunhod. Sa partikular, ang p ug q katingad-an. Atong kuwadrado: 2q²=p². Ang numero p dili mahimong odd, sukad niadto p² mahimo usab, ug ang wala nga bahin sa pagkaparehas usa ka multiple sa 2. Busa, ang p parehas, i.e., p = 2r, busa p²= 4r². Gipakunhod namo ang equation nga 2q²= 4r² pinaagi sa 2. Makuha nato ang q²= 2r² ug kami nakakita nga q kinahanglan usab nga parehas, diin kami nagtuo nga dili ingon niana. Ang resulta nga panagsumpaki nagkompleto sa pruweba - kini nga pormula kanunay nga makit-an sa matag libro sa matematika. Kini nga dili direkta nga pruweba usa ka paborito nga teknik sa mga sophist.

Kini nga kadako dili masabtan sa mga Pythagorean. Ang tanan kinahanglan nga mahulagway pinaagi sa mga numero, ug ang diagonal sa usa ka kuwadrado, nga ang bisan kinsa mahimong magdrowing sa usa ka sungkod sa balas, walay, nga mao, masukod, gitas-on. “Nakawang ang among pagtuo,” morag giingon sa mga Pythagorean. Unsaon man? Kini usa ka matang sa ... dili makatarunganon. Gisulayan sa Unyon nga luwason ang kaugalingon pinaagi sa mga pamaagi sa sekta. Bisan kinsa nga mangahas sa pagpadayag sa ilang pagkaanaa dili makatarunganon nga mga numero, pagasilotan sa kamatayon, ug, dayag, ang unang sentensiya gipatuman mismo sa agalon.

Apan "ang hunahuna milabay nga wala maunsa." Miabot na ang bulawanong edad. Gipildi sa mga Griyego ang mga Persiano (Marathon 490, Block 479). Ang demokrasya gipalig-on, bag-ong mga sentro sa pilosopikal nga panghunahuna ug bag-ong mga eskwelahan mitungha. Ang mga Pythagorean nakigbisog gihapon sa dili makatarunganon nga mga numero. Ang uban nagwali: dili nato masabtan kini nga misteryo; mamalandong lamang kita niini ug makadayeg sa Uncharted. Ang naulahi mas pragmatic ug wala magtahod sa Misteryo. Nianang panahona, duha ka mga pagtukod sa pangisip ang nagpakita nga nagpaposible nga masabtan ang dili makatarunganon nga mga numero. Ang kamatuoran nga igo na natong nasabtan sila karon iya ni Eudoxus (ika-XNUMX nga siglo BC), ug diha lamang sa kataposan sa ika-XNUMX nga siglo nga ang Aleman nga matematiko nga si Richard Dedekind mihatag sa teoriya sa Eudoxus sa hustong pag-uswag sumala sa mga kinahanglanon sa estrikto. lohika sa matematika.

Mass of figures o torture

Mabuhi ka ba nga walay numero? Bisan pa, unsa nga matang sa kinabuhi kini ... Kinahanglan nga moadto kami sa tindahan aron mopalit og mga sapatos nga adunay usa ka sungkod, nga kaniadto among gisukod ang gitas-on sa tiil. “Gusto ko og mansanas, o, ania na!” – ipakita namo ang mga tigbaligya sa merkado. "Unsa ka layo gikan sa Modlin hangtod sa Nowy Dwór Mazowiecki"? “Hapit kaayo!”

Ang mga numero gigamit sa pagsukod. Gigamit usab namo kini aron ipahayag ang daghang uban pang mga konsepto. Pananglitan, ang sukod sa mapa nagpakita kung unsa ka minus ang lugar sa nasud. Ang duha-sa-usa nga sukdanan, o yanong 2, nagpahayag sa kamatuoran nga ang usa ka butang nadoble. Ingnon ta nga mathematically: ang matag homogeneity katumbas sa usa ka numero - ang sukdanan niini.

Buluhaton. Naghimo kami og xerographic nga kopya, nga nagpadako sa imahe sa daghang mga higayon. Dayon ang gipadak-an nga tipik gipadako pag-usab b mga higayon. Unsa ang kinatibuk-ang sukod sa pagpadako? Tubag: a × b gipadaghan sa b. Kini nga mga timbangan kinahanglan nga padaghanon. Ang "minus one" nga numero, -1, katumbas sa usa ka katukma nga nakasentro, i.e. gipatuyok 180 degrees. Unsa nga numero ang katumbas sa usa ka 90 degree nga pagliko? Walay ingon nga numero. Kini mao, kini… o hinoon, kini sa dili madugay. Andam ka na ba alang sa moral nga pagsakit? Pagmaisogon ug kuhaa ang square root sa minus one. naminaw ko? Unsa ang dili nimo mahimo? Tuod man, giingnan ko ikaw nga magmaisogon. Ibira kini! Uy, aw, bira, bira... Tabang ko... Dinhi: -1 Karon nga naa na ta, sulayan nato nga gamiton... Siyempre, karon mahimo na natong makuha ang mga gamot sa tanang negatibong numero, kay pananglitan.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- "bisan unsa pa ang kasakit sa pangisip nga gipahinabo niini." Mao kini ang gisulat ni Girolamo Cardano niadtong 1539, naningkamot sa pagbuntog sa mga kalisud sa pangisip nga nalangkit sa - nga sa wala madugay gitawag kini - hinanduraw nga gidaghanon. Gikonsiderar niya kini nga mga ...

...Buluhaton. Bahina ang 10 sa duha ka bahin, ang produkto nga katumbas sa 40. Nahinumdom ko gikan sa miaging yugto nga iyang gisulat ang usa ka butang nga sama niini: Dayag nga imposible. Bisan pa, buhaton nato kini: bahinon ang 10 ngadto sa duha ka managsama nga bahin, ang matag usa katumbas sa 5. I-multiply kini - makuha nato ang 25. Gikan sa resulta nga 25, karon ibawas ang 40, kung gusto nimo, ug makuha nato -15. Karon tan-awa: √-15 nga gidugang ug gikuha gikan sa 5 naghatag kanimo sa produkto sa 40. Kadtong mga numero mao ang 5-√-15 ug 5 + √-15. Ang resulta gipamatud-an ni Cardano sama sa mosunod:

“Bisan unsa pa ang kasakit sa pangisip nga nalangkit niini, i-multiply ang 5 + √-15 sa 5-√-15. Makuha nato ang 25 - (-15), nga katumbas sa 25 + 15. Busa, ang produkto mao ang 40…. Lisod gyud.”

Aw, pila ang: (1 + √-1) (1-√-1)? Padaghanon ta. Hinumdomi nga √-1 × √-1 = -1. Nindot. Karon mas lisud nga buluhaton: gikan sa a + b√-1 hangtod sa ab√-1. Unsay nahitabo? Sigurado, sama niini: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Unsa ang makapaikag bahin niini? Pananglitan, ang kamatuoran nga mahimo natong i-factor ang mga ekspresyon nga "wala pa nato nahibal-an kaniadto." Ang pinamubo nga pormula sa pagpadaghan alang sa²-b² Nahinumdom ka ba sa pormula alang sa²+b² dili, tungod kay dili mahimo. Sa domain sa tinuod nga mga numero, ang polynomial²+b² kini dili kalikayan. Atong itudlo ang "atong" square root sa "minus one" nga adunay letra nga i.²= -1. Kini usa ka "dili tinuod" nga prime number. Ug kana ang naghulagway sa usa ka 90 degree nga pagliko sa usa ka eroplano. Ngano man? Human sa tanan,²= -1, ug ang pagkombinar sa usa ka 90-degree nga rotation sa lain nga susama nga rotation makamugna og 180-degree nga rotation. Unsang matang sa rotation ang gihulagway? Kini klaro - usa ka 45 degree nga pagliko. Unsa ang gipasabot sa numero -i? Kini usa ka gamay nga mas komplikado:

(-ako)² = -i × (-i) = +i² = -1

Gihulagway usab ni -i ang usa ka 90 degree rotation, sa atbang nga direksyon sa rotation ni i. Hain ang wala ug hain ang husto? Kinahanglan ka nga maghimo usa ka appointment. Nagtuo kami nga ang numero i nagtino sa usa ka rotation sa direksyon nga giisip sa mga mathematician nga positibo: counterclockwise. Ang numero -i naghulagway sa rotation sa direksyon nga ang mga pointer naglihok.

Apan naglungtad ba ang mga numero sama sa i ug -i? Mga! Gibuhi lang namo sila. naminaw ko? Nga anaa ra sila sa atong ulo? Aw unsa may madahom? Ang tanan nga ubang mga numero anaa usab sa atong hunahuna. Kinahanglan natong tan-awon kon ang atong bag-ong nahimugso nga numero mabuhi. Mas tukma, kon ang disenyo lohikal ug kon kini mapuslanon alang sa usa ka butang. Palihug kuhaa ang akong pulong alang niini nga ang tanan naa sa kahusay ug nga kini nga mga bag-ong numero makatabang kaayo. Ang mga numero sama sa 3+i, 5-7i, mas kasagaran: a+bi gitawag nga komplikadong mga numero. Gipakita ko kanimo kung giunsa nimo makuha kini pinaagi sa pagpatuyok sa eroplano. Mahimo silang isulod sa lainlaing mga paagi: isip mga punto sa usa ka eroplano, ingon sa pipila ka mga polynomial, ingon nga usa ka matang sa numerical arrays ... ug sa matag higayon nga sila managsama: ang equation x² +1=0 walay elemento... hocus pocus na diha!!!! Magsadya ta ug magsadya!!!

Katapusan sa tour

Kini nagtapos sa atong unang tour sa nasud sa peke nga mga numero. Sa uban nga dili yutan-on nga mga numero, hisgotan usab nako kadtong adunay walay kinutuban nga daghang mga numero sa atubangan, ug dili sa luyo (gitawag kini nga 10-adic, alang kanato ang p-adic mas importante, diin ang p usa ka prime number), pananglitan X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Ihap ta X palihog². Ingon? Unsa kaha kon atong kuwentahon ang square sa usa ka numero nga gisundan sa walay kinutuban nga gidaghanon sa mga digit? Aw, ato usab nga buhaton. Nahibal-an namon nga x² = H.

Mangita ta og lain nga numero nga adunay walay kinutuban nga gidaghanon sa mga digit sa atubangan nga makatagbaw sa equation. Sugyot: ang square sa usa ka numero nga natapos sa unom natapos usab sa unom. Ang square sa usa ka numero nga natapos sa 76 natapos usab sa 76. Ang square sa usa ka numero nga natapos sa 376 natapos usab sa 376. Ang square sa usa ka numero nga natapos sa 9376 natapos usab sa 9376. Ang square sa usa ka numero nga natapos sa XNUMX sa… Adunay usab mga numero nga gamay kaayo nga, tungod kay positibo, sila nagpabilin nga gamay kaysa bisan unsang ubang positibo nga numero. Gamay kaayo sila nga usahay igo na nga kuwadrado sila aron makakuha og sero. Adunay mga numero nga dili makatagbaw sa kondisyon a × b = b × a. Adunay usab walay kinutuban nga mga numero. Pila ka natural nga mga numero ang naa? Walay kinutuban nga daghan? Oo, apan magkano? Sa unsang paagi kini mapahayag ingong numero? Tubag: ang pinakagamay sa walay kinutuban nga mga numero; kini gimarkahan og nindot nga letra: A ug gidugangan og zero index A₀ , aleph-zero.

Adunay usab mga numero nga wala naton nahibal-an nga naglungtad ... o nga mahimo nimong tuohan o dili katuohan kung gusto nimo. Ug sa pagsulti sa sama: Nanghinaut ko nga ganahan gihapon ka sa Dili Tinuod nga Numero, Mga Numero sa Fantasy Species.