KUNG KINSA, kana mao ang: TRY ASA IMONG PWEDE - part 2

Sa miaging yugto, among gihisgutan ang Sudoku, usa ka dula sa aritmetika diin ang mga numero sa batakan nga gihan-ay sa lainlaing mga diagram sumala sa piho nga mga lagda. Ang labing komon nga variant mao ang 9×9 chessboard, dugang gibahin ngadto sa siyam ka 3×3 cell. Ang mga numero gikan sa 1 ngadto sa 9 kinahanglang ibutang niini aron dili kini mag-usab sa usa ka bertikal nga laray (ang mga matematiko nag-ingon: sa usa ka kolum) o sa usa ka pinahigda nga laray (ang mga matematiko nag-ingon: sa usa ka laray) - ug, dugang pa, aron nga dili na sila magbalikbalik. balika sulod sa bisan unsang mas gamay nga kwadro.

Na fig. 1 makita nato kini nga puzzle sa mas simple nga bersyon, nga usa ka 6 × 6 square nga gibahin ngadto sa 2 × 3 nga mga rektanggulo. Atong gisal-ot ang mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6 niini - aron dili sila magbalikbalik nga patayo, ni pinahigda, ni sa matag usa sa mga pinili nga hexagons.

Atong sulayan gipakita sa ibabaw nga kuwadrado. Mahimo ba nimo kini pun-an sa mga numero gikan sa 1 hangtod 6 sumala sa mga lagda nga gitakda alang niini nga dula? Posible - apan dili klaro. Atong tan-awon - pagdrowing og usa ka square sa wala o usa ka square sa tuo.

Makaingon kita nga dili kini ang basehan sa puzzle. Kasagaran atong gihunahuna nga ang usa ka puzzle adunay usa ka solusyon. Ang tahas sa pagpangita sa lainlaing mga sukaranan alang sa "dako" nga Sudoku, 9x9, usa ka lisud nga buluhaton ug wala’y higayon nga hingpit nga masulbad kini.

Ang laing importante nga koneksyon mao ang nagkasumpaki nga sistema. Ang ubos nga tunga nga kuwadrado (ang usa nga adunay numero 2 sa ubos nga tuo nga suok) dili makompleto. Ngano man?

Kalingawan ug Pag-atras

Nagduwa mi. Gamiton nato ang intuition sa mga bata. Nagtuo sila nga ang kalingawan usa ka pasiuna sa pagkat-on. Adto ta sa kawanangan. gi-switch on fig. 2 ang tanan nakakita sa grid tetrahedrongikan sa mga bola, pananglitan, mga bola sa ping-pong? Hinumdomi ang mga leksyon sa geometry sa eskwelahan. Ang mga kolor sa wala nga bahin sa litrato nagpatin-aw kung unsa ang gipapilit niini kung gi-assemble ang bloke. Sa partikular, tulo ka kanto (pula) nga mga bola ang ipapilit sa usa. Busa, sila kinahanglan nga parehas nga numero. Tingali 9. Ngano? Ug nganong dili?

Oh, wala ko kini gisulti mga buluhaton. Morag ingon niini: posible ba nga isulat ang mga numero gikan sa 0 hangtod 9 sa makita nga grid aron ang matag nawong adunay tanan nga mga numero? Ang buluhaton dili lisud, apan unsa ka dako ang imong kinahanglan nga mahanduraw! Dili nako gub-on ang kalipay sa mga magbabasa ug dili ako maghatag solusyon.

Kini usa ka matahum kaayo ug gipakaubos nga porma. regular nga octahedron, gitukod gikan sa duha ka mga piramide (=mga piramide) nga adunay kuwadrado nga base. Sama sa gisugyot sa ngalan, ang octahedron adunay walo ka nawong.

Adunay unom ka vertices sa usa ka octahedron. Sukwahi kini cubenga adunay unom ka nawong ug walo ka vertices. Ang mga ngilit sa duha ka lumps managsama - dose matag usa. Kini doble nga solido - kini nagpasabot nga pinaagi sa pagkonektar sa mga sentro sa mga nawong sa cube kita makakuha og usa ka octahedron, ug ang mga sentro sa mga nawong sa octahedron mohatag kanato og usa ka cube. Kining duha ka bumps nagpasundayag ("tungod kay kinahanglan nila") Euler nga pormula: Ang gidaghanon sa gidaghanon sa mga vertices ug ang gidaghanon sa mga nawong mao ang 2 labaw pa kay sa gidaghanon sa mga sidsid.

3. Usa ka regular nga octahedron sa parallel projection ug usa ka octahedron lattice nga gilangkoban sa mga sphere sa paagi nga ang matag ngilit adunay upat ka sphere.

1 nga trabaho. Una, isulat ang kataposang sentence sa miaging paragraph gamit ang mathematical formula. Sa fig. 3 makita nimo ang usa ka octahedral grid, nga gilangkoban usab sa mga sphere. Ang matag kilid adunay upat ka bola. Ang matag nawong usa ka triyanggulo sa napulo ka sphere. Ang problema gitakda nga independente: posible ba nga ibutang ang mga numero gikan sa 0 hangtod 9 sa mga lingin sa grid aron pagkahuman sa pagpapilit sa usa ka solidong lawas, ang matag dingding adunay tanan nga mga numero (kini nagsunod nga wala’y pagbalik-balik). Sama sa kaniadto, ang pinakadako nga kalisud niini nga buluhaton mao ang paagi nga ang mata mausab ngadto sa usa ka solid nga lawas. Dili nako kini ipasabut sa pagsulat, mao nga wala usab ako maghatag solusyon dinhi.

4. Duha ka icosahedron gikan sa mga bola sa ping-pong. Tan-awa ang lainlain nga laraw sa kolor.

na Plato (ug nabuhi siya sa ika-XNUMX-XNUMX nga siglo BC) nakahibalo sa tanang regular nga polyhedra: tetrahedron, cube, octahedron, demaэдр i icosahedron. Kahibulongan kung giunsa niya pag-abut didto - walay lapis, walay papel, walay pen, walay libro, walay smartphone, walay internet! Dili ko maghisgot bahin sa dodecahedron dinhi. Apan ang icosahedral sudoku makapaikag. Atong makita kini nga bukol sa ilustrasyon 4ug ang network niini rys. siyam.

5. Regular nga mata sa icosahedron.

Sama sa kaniadto, dili kini usa ka grid sa diwa nga atong nahinumduman (?!) gikan sa eskwelahan, apan usa ka paagi sa pag-gluing sa mga triangles gikan sa mga bola (bola).

2 nga trabaho. Pila ka bola ang gikinahanglan aron matukod ang ingon nga icosahedron? Nagpabilin ba nga husto ang mosunod nga pangatarungan: tungod kay ang matag nawong usa ka triyanggulo, kung adunay 20 ka mga nawong, nan kutob sa 60 ka sphere ang gikinahanglan?

6. Grid sa usa ka icosahedron gikan sa mga sphere. Ang matag lingin, pananglitan, usa ka ping-pong nga bola, apan ang pagtukod sa mga lingin sa mga lingin nga gimarkahan sa parehas nga kolor naghiusa sa usa. Busa kita adunay dose ka spheres (= dose ka vertices: pula, asul, purpura, asul ug walo ka yellow).

Sayon nga makita nga ang tulo ka mga numero sa icosahedron dili igo. Mas tukma: imposible ang pag-ihap sa mga vertices nga adunay mga numero 1, 2, 3 aron ang matag (triangular) nga nawong adunay kini nga tulo nga mga numero ug wala’y mga pagsubli. Posible ba nga adunay upat ka numero? Oo posible! Atong tan-awon bugas. 6 ug 7.

7. Ania kung giunsa pag-ihap ang mga sphere nga naglangkob sa icosahedron aron ang matag nawong adunay mga numero gawas sa 1, 2, 3, 4. Hain sa mga lawas sa fig. 4 ang kolor ingon niini?

3 nga trabaho. Tulo sa upat ka mga numero mahimong mapili sa upat ka paagi: 123, 124, 134, 234. Pangitaa ang lima sa maong mga triyanggulo sa icosahedron sa fig. 7 (ingon man gikan sa mga ilustrasyon 4).

4 nga trabaho (nagkinahanglan og maayo kaayo nga spatial nga imahinasyon). Ang icosahedron adunay dose ka vertices, nga nagpasabot nga kini mahimong ipapilit gikan sa dose ka bola (fig. 7). Timan-i nga adunay tulo ka vertices (=bola) nga gimarkahan og 1, tulo nga adunay 2, ug uban pa. Busa, ang mga bola nga parehas og kolor nagporma og triyanggulo. Unsa kini nga triyanggulo? Tingali equilateral? Tan-awa pag-usab mga ilustrasyon 4.

Ang sunod nga buluhaton alang sa apohan / lola ug apo / apo nga babaye. Ang mga ginikanan sa katapusan makasulay usab sa ilang kamot, apan nagkinahanglan sila og pailub ug panahon.

5 nga trabaho. Pagpalit og dose (labing maayo nga 24) ka ping-pong nga bola, pipila ka upat ka kolor sa pintura, usa ka brush, ug ang husto nga glue - Dili ko morekomendar sa mga dali sama sa Superglue o Droplet tungod kay kini dali nga mamala ug peligroso alang sa mga bata. Ipapilit ang icosahedron. Isul-ob ang imong apo nga babaye og t-shirt nga labhan (o ilabay) dayon pagkahuman. Tabuni ang lamesa nga adunay foil (mas maayo nga adunay mga mantalaan). Kolori pag-ayo ang icosahedron nga adunay upat ka kolor 1, 2, 3, 4, ingon sa gipakita sa fig. fig. 7. Mahimo nimong usbon ang han-ay - una nga kolori ang mga balloon ug dayon ipapilit kini. Sa samang higayon, ang gagmay nga mga lingin kinahanglang biyaan nga dili mapintura aron ang pintal dili mopilit sa pintal.

Karon ang labing lisud nga buluhaton (mas tukma, ang ilang tibuok nga han-ay).

6 nga trabaho (Labaw nga espesipiko, ang kinatibuk-ang tema). Iplano ang icosahedron isip usa ka tetrahedron ug usa ka octahedron sa bugas. 2 ug 3 Kini nagpasabot nga kinahanglan adunay upat ka bola sa matag kilid. Sa kini nga variant, ang buluhaton parehas nga nag-usik sa oras ug bisan mahal. Magsugod ta pinaagi sa pagpangita kung pila ka bola ang imong kinahanglan. Ang matag nawong adunay napulo ka sphere, mao nga ang icosahedron nagkinahanglan og duha ka gatos? Dili! Kinahanglan natong hinumdoman nga daghang mga bola ang gipaambit. Pila ka sulab ang naa sa icosahedron? Mahimo kini nga makutihon nga kalkulado, apan para sa unsa ang pormula sa Euler?

w–k+s=2

diin ang w, k, s mao ang gidaghanon sa mga vertices, mga ngilit, ug mga nawong, matag usa. Atong nahinumduman nga ang w = 12, s = 20, nga nagpasabot k = 30. Kita adunay 30 ka sidsid sa icosahedron. Mahimo nimo kini nga lahi, tungod kay kung adunay 20 nga mga trianggulo, nan sila adunay 60 nga mga sulud, apan ang duha niini kasagaran.

Atong kuwentahon kon pila ka bola ang imong gikinahanglan. Sa matag triyanggulo adunay usa lamang ka internal nga bola - ni sa ibabaw sa atong lawas, ni sa ngilit. Busa, aduna kitay total nga 20 sa maong mga bola. Adunay 12 ka taluktok. Ang matag ngilit adunay duha ka non-vertex nga bola (naa sila sa sulod sa ngilit, apan dili sa sulod sa nawong). Tungod kay adunay 30 ka sidsid, adunay 60 ka marbles, apan ang duha niini gibahin, nga nagpasabot nga kinahanglan nimo ang 30 ka marbles, busa kinahanglan nimo ang total nga 20 + 12 + 30 = 62 marbles. Ang mga bola mahimong mapalit sa labing menos 50 ka sentimos (kasagaran mas mahal). Kung imong idugang ang gasto sa papilit, kini mogawas ... daghan. Ang maayong pagkasuod nanginahanglan daghang oras sa makuti nga trabaho. Mag-uban sila angay alang sa usa ka relaks nga kalingawan - girekomenda ko sila imbis, pananglitan, pagtan-aw sa TV.

Pag-atras 1. Sa serye sa pelikula ni Andrzej Wajda nga Years, Days, duha ka lalaki ang nagduwa og chess "tungod kay kinahanglan silang magpalabay sa oras hangtod sa panihapon." Kini mahitabo sa Galician Krakow. Sa tinuud: ang mga mantalaan nabasa na (unya sila adunay 4 nga mga panid), ang TV ug telepono wala pa maimbento, wala’y mga posporo sa football. Kalaay sa mga lim-aw. Sa ingon nga kahimtang, ang mga tawo naghimo og kalingawan alang sa ilang kaugalingon. Karon naa namo sila pagkahuman gipadayon ang remote control ...

Pag-atras 2. Sa miting sa 2019 sa Association of Teachers of Mathematics, usa ka propesor sa Espanya ang nagpakita sa usa ka programa sa kompyuter nga makapintal sa lig-on nga mga dingding sa bisan unsang kolor. Medyo creepy, kay nag-drawing ra sila sa mga kamot, hapit maputol ang lawas. Naghunahuna ko sa akong kaugalingon: unsa ka daghan nga kalingawan ang imong makuha gikan sa ingon nga "shading"? Nagkinahanglan kini og duha ka minuto alang sa tanan, ug sa ikaupat wala na kami mahinumdoman bisan unsa. Samtang, ang kinaraan nga “needlework” nagpakalma ug nag-edukar. Kinsa ang dili motuo, pasulaya siya.

Balikan nato ang ika-XNUMX nga siglo ug sa atong mga kamatuoran. Kung dili nato gusto ang pagpahayahay sa porma sa hago nga pagpapilit sa mga bola, nan magdrowing kita og labing menos usa ka grid sa usa ka icosahedron, ang mga ngilit niini adunay upat ka bola. Unsaon pagbuhat niini? Chop kini sa husto rys. siyam. Ang matinagdanon nga magbabasa nakatag-an na sa problema:

7 nga trabaho. Posible ba ang pag-ihap sa mga bola nga adunay mga numero gikan sa 0 hangtod 9 aron ang tanan nga kini nga mga numero makita sa matag nawong sa ingon nga icosahedron?

Unsa man ang gibayran kanamo?

Karong panahona kanunay natong pangutan-on ang atong mga kaugalingon sa pangutana sa katuyoan sa atong mga kalihokan, ug ang "gray nga magbubuhis" mangutana nganong kinahanglan niyang bayran ang mga mathematician aron masulbad ang maong mga puzzle?

Simple ra ang tubag. Ang ingon nga "mga puzzle", nga makapaikag sa ilang kaugalingon, "usa ka tipik sa usa ka butang nga mas seryoso." Sa pagkatinuod, ang mga parada sa militar usa lamang ka eksternal, talagsaon nga bahin sa usa ka lisud nga serbisyo. Maghatag lang ko og usa ka pananglitan, apan magsugod ko sa usa ka talagsaon apan giila sa tibuok kalibutan nga mathematical subject. Sa 1852, usa ka English nga estudyante nangutana sa iyang propesor kon mahimo ba nga koloran ang usa ka mapa nga adunay upat ka kolor aron ang silingang mga nasud kanunay nga gipakita sa lainlaing mga kolor? Idugang nako nga dili nato isipon nga "mga silingan" kadtong nagkita sa usa lang ka punto, sama sa estado sa Wyoming ug Utah sa US. Ang propesor wala mahibalo ... ug ang problema naghulat alang sa usa ka solusyon alang sa kapin sa usa ka gatus ka tuig.

8. Icosahedron gikan sa RECO blocks. Gipakita sa mga flash reflector kung unsa ang parehas sa icosahedron sa triyanggulo ug pentagon. Lima ka triangulo ang nagtapok sa matag vertex.

Nahitabo kini sa wala damha nga paagi. Sa 1976, usa ka grupo sa mga Amerikanong mathematician nagsulat og programa aron masulbad kini nga problema (ug nakahukom sila: oo, upat ka kolor ang kanunay nga igo). Mao kini ang unang pruweba sa usa ka mathematical nga kamatuoran nga nakuha sa tabang sa usa ka "mathematical machine" - ingon nga ang usa ka computer gitawag tunga sa siglo ang milabay (ug bisan sa sayo pa: "electronic brain").

Ania ang usa ka espesyal nga gipakita nga "mapa sa Europe" (fig. 9). Kadtong mga nasud nga adunay usa ka komon nga utlanan konektado. Ang pagkolor sa mapa parehas sa pagkolor sa mga lingin niini nga graph (gitawag nga graph) aron walay konektado nga mga lingin nga parehas og kolor. Ang pagtan-aw sa Liechtenstein, Belgium, France ug Germany nagpakita nga dili igo ang tulo ka kolor. Kung gusto nimo, Magbabasa, kolori kini sa upat ka kolor.

9. Kinsay utlanan sa Uropa?

Aw, oo, apan bili ba kini sa kuwarta sa mga magbubuhis? Busa atong tan-awon ang parehas nga graph nga medyo lahi. Kalimti nga adunay mga estado ug mga utlanan. Himoa nga ang mga lingin nagsimbolo sa mga pakete sa impormasyon nga ipadala gikan sa usa ka punto ngadto sa lain (pananglitan, gikan sa P ngadto sa EST), ug ang mga bahin nagrepresentar sa posible nga mga koneksyon, nga ang matag usa adunay kaugalingong bandwidth. Ipadala sa labing dali nga panahon?

Una, atong tan-awon ang usa ka gipayano kaayo, apan usab makapaikag kaayo nga kahimtang gikan sa usa ka punto sa matematika. Kinahanglan nga magpadala kami usa ka butang gikan sa punto S (= ingon pagsugod) hangtod sa punto M (= pagkahuman) gamit ang koneksyon nga network nga adunay parehas nga bandwidth, ingon 1. Nakita namon kini sa fig. 10.

10. Network sa mga koneksyon gikan sa Statsyika Zdrój ngadto sa Megapolis.

Hunahunaa nga mga 89 ka piraso sa impormasyon ang kinahanglang ipadala gikan sa S ngadto sa M. Ang tagsulat niini nga mga pulong ganahan og mga problema mahitungod sa mga tren, mao nga iyang gihunahuna nga siya usa ka manedyer sa Stacie Zdrój, diin kinahanglan siyang magpadala og 144 ka mga bagon. ngadto sa metropolis station. Ngano 144 gyud? Tungod kay, ingon sa atong makita, kini gamiton sa pagkalkulo sa throughput sa tibuok network. Ang kapasidad mao ang 1 sa matag lote, i.e. ang usa ka sakyanan mahimong molabay kada yunit sa oras (usa ka impormasyon nga gamay, posible usab nga Gigabyte).

Atong siguroon nga ang tanang mga sakyanan magkita sa samang oras sa M. Ang tanan makaabot didto sa 89 ka yunit sa oras. Kung ako adunay usa ka importante kaayo nga pakete sa impormasyon gikan sa S ngadto sa M nga ipadala, akong bungkagon kini ngadto sa mga grupo sa 144 ka mga yunit ug iduso kini sama sa ibabaw. Ang matematika naggarantiya nga kini ang labing paspas. Giunsa nako pagkahibalo nga kinahanglan nimo ang 89? Nakatag-an gyud ko, apan kung dili ako makatag-an, kinahanglan nako nga mahibal-an kini Mga equation sa Kirchhoff (naa bay nakahinumdom? - kini ang mga equation nga naghulagway sa dagan sa kasamtangan). Ang bandwidth sa network mao ang 184/89, nga gibanabana nga katumbas sa 1,62.

Mahitungod sa kalipay

Pinaagi sa dalan, ganahan ko sa numero 144. Ganahan ko nga mosakay sa bus nga adunay kini nga numero sa Castle Square sa Warsaw - kung wala'y gipahiuli nga Royal Castle sunod niini. Tingali ang mga batan-ong magbabasa nahibal-an kung unsa ang usa ka dosena. Kana 12 ka kopya, apan ang mga tigulang ra nga magbabasa ang nakahinumdom nga usa ka dosena, ie. 122=144, kini mao ang gitawag nga lote. Ug ang tanan nga nahibal-an ang matematika labi pa sa kurikulum sa eskuylahan masabtan dayon kana fig. 10 kita adunay mga numero sa Fibonacci ug nga ang network bandwidth duol sa "bulawan nga numero"

Sa Fibonacci sequence, ang 144 mao lamang ang numero nga usa ka perfect square. Usa ka gatus kap-atan ug upat usab usa ka "malipayon nga numero." Ingon niana ang usa ka Indian nga amateur mathematician Dattatreya Ramachandra Caprecar niadtong 1955, iyang gihinganlan ang mga numero nga mabahin sa gidaghanon sa ilang constituent digits:

Kung nahibal-an niya kini Adam Mickiewicz, magsulat gayod siya ug dili sa Dzyady: “Gikan sa usa ka estranyo nga inahan; ang iyang dugo mao ang iyang karaan nga mga bayani / Ug ang iyang ngalan maoy kap-atan ug upat, apan mas elegante: Ug ang iyang ngalan usa ka gatus ug kap-atan ug upat.

Pagseryoso sa kalingawan

Nanghinaut ko nga nakombinsir ko ang mga magbabasa nga ang Sudoku puzzle mao ang makalingaw nga bahin sa mga pangutana nga angayan nga seryosohon. Dili na nako mapalambo pa kini nga hilisgutan. Oh, bug-os nga pagkalkula sa bandwidth sa network gikan sa tsart nga gihatag sa fig. 9 Ang pagsulat sa usa ka sistema sa mga equation mokabat ug duha o daghan pang oras - tingali bisan napulo ka segundo (!) nga pagtrabaho sa kompyuter.