Geometric nga mga agianan ug kalibonan
Samtang nagsulat niini nga artikulo, akong nahinumdoman ang usa ka karaan na kaayong kanta ni Jan Pietrzak, nga iyang giawit sa wala pa ang iyang satirical nga kalihokan sa kabaret nga Pod Egidą, nga giila sa Polish People's Republic isip safety valve; ang usa mahimong matinud-anon nga mokatawa sa mga paradox sa sistema. Niini nga kanta, girekomenda sa tagsulat ang sosyalistang pag-apil sa politika, nga nagbiaybiay sa mga gusto nga dili politiko ug gipalong ang radyo sa mantalaan. "Mas maayo nga mobalik sa pagbasa sa eskuylahan," ang XNUMX-anyos nga si Petshak nga nag-awit.
Mobalik ko sa eskuwelahan sa pagbasa. Gibasa ko pag-usab (dili sa unang higayon) ang libro ni Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Alang sa pipila ka mga magbabasa, ang pulong mismo adunay gisulti. Kini ang ngalan sa anak nga babaye sa bantog nga Hindu nga matematiko nga nailhan nga Bhaskara (1114-1185), nga ginganlag Akaria, o ang maalamon nga nag-ulohan sa iyang libro sa algebra nga adunay kana nga ngalan. Si Lilavati sa ulahi nahimong usa ka inila nga matematiko ug pilosopo mismo. Sumala sa ubang mga tinubdan, siya mismo ang nagsulat sa libro.
Si Szczepan Yelensky mihatag sa samang titulo sa iyang libro sa matematika (unang edisyon, 1926). Mahimong lisud pa gani nga tawgon kini nga libro nga usa ka buhat sa matematika - kini usa ka hugpong sa mga puzzle, ug kadaghanan gisulat pag-usab gikan sa mga tinubdan sa Pranses (mga copyright sa modernong diwa wala maglungtad). Sa bisan unsa nga kaso, sulod sa daghang mga tuig kini lamang ang popular nga Polish nga libro sa matematika - sa ulahi ang ikaduhang libro ni Jelensky, ang Pythagoras's Sweets, gidugang niini. Mao nga ang mga batan-on nga interesado sa matematika (nga mao gyud ako kaniadto) wala’y mapilian ...
sa laing bahin, ang "Lilavati" kinahanglan nga mailhan hapit sa kasingkasing ... Ah, adunay mga higayon ... Ang ilang labing dako nga bentaha mao nga ako ... usa ka tin-edyer kaniadto. Karon, gikan sa punto sa panan-aw sa usa ka edukado nga matematiko, akong gitan-aw si Lilavati sa lahi nga paagi - tingali sama sa usa ka tigkatkat sa mga likoanan sa agianan padulong sa Shpiglasova Pshelench. Walay usa o ang lain nga mawad-an sa iyang kaanyag ... Sa iyang kinaiya nga estilo, si Shchepan Yelensky, kinsa nag-angkon sa gitawag nga nasudnong mga ideya sa iyang personal nga kinabuhi, siya misulat sa pasiuna:
Kung wala’y paghikap sa paghulagway sa nasudnon nga mga kinaiya, isulti ko nga bisan pagkahuman sa kasiyaman ka tuig, ang mga pulong ni Yelensky bahin sa matematika wala mawala ang ilang kalabotan. Ang matematika nagtudlo kanimo sa paghunahuna. Kini usa ka kamatuoran. Matudloan ka ba namo sa paghunahuna nga lahi, mas yano ug mas nindot? Mahimong. Ambot lang... di gihapon ta pwede. Gipasabot nako sa akong mga estudyante nga dili gustong mag-math nga test sab ni sa ilang intelligence. Kung dili ka makakat-on sa yano nga teorya sa matematika, nan ... tingali ang imong mga abilidad sa pangisip labi ka daotan kaysa gusto namon nga duha ...?
Mga timailhan sa balas
Ug ania ang unang istorya sa "Lylavati" - usa ka istorya nga gihulagway sa Pranses nga pilosopo nga si Joseph de Maistre (1753-1821).
Usa ka marinero gikan sa naguba nga barko gilabay sa mga balod ngadto sa walay sulod nga baybayon, nga iyang giisip nga walay nagpuyo. Sa kalit, diha sa balas sa baybayon, iyang nakita ang usa ka timaan sa usa ka geometric nga numero nga gidrowing sa atubangan sa usa ka tawo. Diha na siya nakaamgo nga ang isla dili mingaw!
Sa pagkutlo kang de Mestri, si Yelensky misulat: geometriko nga numerokini usa ka amang nga ekspresyon alang sa alaot, nalunod nga barko, sulagma, apan iyang gipakita kaniya sa usa ka pagtan-aw sa proporsyon ug numero, ug kini nagpahibalo sa usa ka nalamdagan nga tawo. Daghan kaayo sa kasaysayan.
Timan-i nga ang usa ka marinero magpahinabo sa samang reaksyon, pananglitan, pinaagi sa pagdrowing sa letrang K, ... ug bisan unsa nga mga timailhan sa presensya sa usa ka tawo. Dinhi ang geometry gipahiangay.
Apan, ang astronomo nga si Camille Flammarion (1847-1925) misugyot nga ang mga sibilisasyon magtimbaya sa usag usa gikan sa layo gamit ang geometry. Nakita niya niini ang bugtong husto ug posible nga pagsulay sa komunikasyon. Atong ipakita sa ingon nga mga Martian ang Pythagorean triangles... tubagon ta nila ni Thales, tubagon nato sila sa Vieta patterns, ang ilang sirkulo mohaom sa triangle, mao nga nagsugod ang panaghigalaay...
Ang mga magsusulat sama nila Jules Verne ug Stanislav Lem mibalik niini nga ideya. Ug sa 1972, ang mga tile nga adunay geometric (ug dili lamang) nga mga sumbanan gibutang sa board sa Pioneer probe, nga naglatas gihapon sa mga hawan sa kawanangan, karon hapit 140 ka astronomical nga mga yunit gikan kanato (1 I mao ang kasagaran nga gilay-on sa Yuta gikan sa Yuta) . Sun, i.e., mga 149 milyon km). Ang tile gidisenyo, sa bahin, sa astronomo nga si Frank Drake, ang tiglalang sa kontrobersyal nga lagda sa gidaghanon sa mga extraterrestrial nga sibilisasyon.
Ang geometry talagsaon. Kitang tanan nahibalo sa kinatibuk-ang punto sa panglantaw sa sinugdanan niini nga siyensiya. Kita (kitang mga tawo) bag-o lang nagsugod sa pagsukod sa yuta (ug sa ulahi sa yuta) alang sa labing mapuslanon nga katuyoan. Ang pagdeterminar sa mga gilay-on, pagdrowing og tul-id nga mga linya, pagmarka sa hustong mga anggulo ug pagkalkula sa mga volume anam-anam nga nahimong kinahanglanon. Busa ang tibuok nga butang geometry ("Pagsukod sa yuta"), busa ang tanan nga matematika ...
Apan, sulod sa pipila ka panahon kining tin-aw nga hulagway sa kasaysayan sa siyensiya mitabon kanamo. Kay kung ang matematika gikinahanglan lamang alang sa mga katuyoan sa operasyon, dili kita moapil sa pagmatuod sa yanong mga teorama. "Nakita nimo nga kini kinahanglan nga tinuod sa tanan," ang usa isulti pagkahuman sa pagsusi nga sa daghang mga right triangle ang sumada sa mga square sa hypotenuse parehas sa square sa hypotenuse. Ngano nga ang ingon nga pormalismo?
Ang plum pie kinahanglan nga lamian, ang programa sa kompyuter kinahanglan nga molihok, ang makina kinahanglan nga molihok. Kung giihap nako ang kapasidad sa baril sa katloan ka beses ug ang tanan naa na, nan ngano pa?
Sa kasamtangan, nahunahunaan sa karaang mga Grego nga kinahanglang pangitaon ang pipila ka pormal nga ebidensiya.
Busa, ang matematika nagsugod kang Thales (625-547 BC). Gituohan nga si Mileto ang nagsugod sa paghunahuna kung ngano. Dili igo alang sa maalamon nga mga tawo nga sila nakakita sa usa ka butang, nga sila kombinsido sa usa ka butang. Nakita nila ang panginahanglan sa pruweba, usa ka lohikal nga han-ay sa mga argumento gikan sa pangagpas hangtod sa tesis.
Gusto usab nila ang labi pa. Lagmit si Thales ang unang misulay sa pagpatin-aw sa pisikal nga panghitabo sa naturalistikong paagi, nga walay pagpangilabot sa Diyos. Ang pilosopiya sa Uropa nagsugod sa pilosopiya sa kinaiyahan - sa kung unsa na ang luyo sa pisika (busa ang ngalan: metaphysics). Apan ang mga pundasyon sa European ontology ug natural nga pilosopiya gipahimutang sa mga Pythagorean (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).
Nagtukod siya sa iyang kaugalingong eskwelahan sa Crotone sa habagatan sa Apennine Peninsula - karon tawgon nato kini nga sekta. Ang siyensiya (sa kasamtangan nga diwa sa pulong), mistisismo, relihiyon ug pantasya ang tanan suod nga nalambigit. Si Thomas Mann matahum kaayo nga nagpresentar sa mga leksyon sa matematika sa usa ka German nga gymnasium sa nobela nga Doctor Faustus. Gihubad ni Maria Kuretskaya ug Witold Virpsha, kini nga tipik mabasa:
Sa makaiikag nga libro ni Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, nakit-an nako ang usa ka makaiikag kaayo nga punto sa panglantaw. Sa usa sa mga kapitulo, gihulagway sa tagsulat ang kamahinungdanon sa eskwelahan sa Pythagorean. Ang ulohan mismo sa kapitulo nakadani kanako. Kini mabasa: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".
Kanunay natong hisgutan kung ang mga teorya sa matematika nadiskobrehan (eg wala mailhi nga mga yuta) o naimbento (eg mga makina nga wala pa kaniadto). Ang ubang mga mamugnaong mathematician nagtan-aw sa ilang mga kaugalingon isip mga tigdukiduki, ang uban isip mga imbentor o tigdesinyo, dili kaayo kasagarang mag-counter.
Apan ang tagsulat niini nga libro nagsulat mahitungod sa pag-imbento sa matematika sa kinatibuk-an.
Gikan sa pagpasobra ngadto sa limbong
Pagkahuman niining taas nga pasiuna nga bahin, magpadayon ako sa sinugdanan. geometryaron ihulagway kung giunsa ang sobrang pagsalig sa geometry makapahisalaag sa usa ka siyentista. Si Johannes Kepler nailhan sa pisika ug astronomiya isip ang nakadiskobre sa tulo ka balaod sa paglihok sa celestial nga mga butang. Una, ang matag planeta sa solar system naglihok libot sa adlaw sa usa ka elliptical orbit, diin ang usa sa sentro niini mao ang adlaw. Ikaduha, sa regular nga mga lat-ang ang nag-unang silaw sa planeta, nga gikuha gikan sa Adlaw, nagdrowing og managsama nga mga natad. Ikatulo, ang ratio sa square sa panahon sa rebolusyon sa usa ka planeta sa palibot sa Adlaw ngadto sa cube sa semi-major axis sa iyang orbit (ie, ang average nga gilay-on gikan sa Adlaw) mao ang kanunay alang sa tanan nga mga planeta sa solar nga sistema.
Tingali kini ang ikatulo nga balaod - nanginahanglan daghang datos ug kalkulasyon aron matukod kini, nga nag-aghat kang Kepler nga magpadayon sa pagpangita sa mga sumbanan sa paglihok ug posisyon sa mga planeta. Makatudlo kaayo ang kasaysayan sa iyang bag-ong "discovery". Sukad sa karaan, nakadayeg kami dili lamang sa regular nga polyhedra, kondili usab sa mga argumento nga nagpakita nga adunay lima lamang niini sa kawanangan. Ang tulo ka dimensyon nga polyhedron gitawag nga regular kung ang mga nawong niini parehas nga regular nga polygons ug ang matag vertex adunay parehas nga gidaghanon sa mga sidsid. Sa paghulagway, ang matag suok sa usa ka regular nga polyhedron kinahanglan "parehas tan-awon". Ang labing inila nga polyhedron mao ang cube. Ang tanan nakakita og ordinaryo nga buolbuol.
Ang regular nga tetrahedron dili kaayo nailhan, ug sa eskwelahan gitawag kini nga regular nga triangular nga piramide. Morag pyramid. Ang nahabilin nga tulo ka regular nga polyhedra dili kaayo nailhan. Ang usa ka octahedron naporma kung atong ikonektar ang mga sentro sa mga ngilit sa usa ka cube. Ang dodecahedron ug icosahedron murag bola na. Gihimo gikan sa humok nga panit, sila mahimong komportable sa pagkalot. Ang pangatarungan nga walay regular nga polyhedra gawas sa lima ka Platonic solids maayo kaayo. Una, nahibal-an naton nga kung ang lawas regular, nan ang parehas nga numero (pabay-i ang q) sa parehas nga regular nga mga polygon kinahanglan magtagbo sa matag vertex, himoa kini nga mga p-anggulo. Karon kinahanglan natong hinumdoman kung unsa ang anggulo sa usa ka regular nga polygon. Kung adunay dili makahinumdom gikan sa eskuylahan, gipahinumdoman ka namon kung giunsa pagpangita ang husto nga sumbanan. Nagbakasyon mi sa eskina. Sa matag vertex kita moliko sa samang anggulo a. Sa diha nga kita molibot sa polygon ug mobalik sa sinugdanan nga punto, kita mihimo p sa ingon nga mga pagliko, ug sa kinatibuk-an kita mibalik sa 360 degrees.
Apan ang α mao ang 180 degrees nga komplemento sa anggulo nga gusto natong kwentahon, ug busa
Among nakit-an ang pormula alang sa anggulo (usa ka matematiko moingon: mga sukod sa usa ka anggulo) sa usa ka regular nga polygon. Atong susihon: sa triyanggulo p = 3, walay a
Ingon ani. Kung p = 4 (kuwadrado), unya
maayo man ang mga grado.
Unsa ang atong makuha alang sa usa ka pentagon? Busa unsa ang mahitabo kung adunay q polygons, ang matag p adunay parehas nga mga anggulo
ang mga degree nga nagpaubos sa usa ka vertex? Kung kini naa sa usa ka eroplano, unya usa ka anggulo ang maporma
degrees ug dili mahimong labaw sa 360 degrees - tungod kay ang polygons nagsapaw.
Bisan pa, tungod kay kini nga mga polygon magtagbo sa kawanangan, ang anggulo kinahanglan nga mas ubos kaysa sa tibuuk nga anggulo.
Ug ania ang pagkadili managsama nga gikan niini ang tanan nagsunod:
Bahina kini sa 180, i-multiply ang duha ka bahin sa p, han-ay (p-2) (q-2) < 4. Unsay mosunod? Atong mahibal-an nga ang p ug q kinahanglan natural nga mga numero ug ang p > 2 (ngano? Ug unsa ang p?) ug usab q > 2. Walay daghang mga paagi sa paghimo sa produkto sa duha ka natural nga mga numero nga ubos sa 4. Kita Ilista silang tanan sa table 1.
Dili ko mag-post og mga drowing, ang tanan makakita niini nga mga numero sa Internet... Sa Internet... Dili ko mobalibad sa usa ka lyrical digression - tingali kini makapaikag alang sa mga batan-ong magbabasa. Niadtong 1970 namulong ko sa usa ka seminar. Lisod ang topiko. Gamay ra ang akong oras sa pag-andam, naglingkod ako sa mga gabii. Ang panguna nga artikulo kay read-only sa lugar. Cozy ang lugar, naay working atmosphere, aw, sirado sa alas siyete. Dayon ang pangasaw-onon (karon akong asawa) mitanyag nga isulat pag-usab ang tibuok artikulo alang kanako: mga usa ka dosena nga naimprinta nga mga panid. Gikopya nako kini (dili, dili sa usa ka quill pen, bisan kami adunay mga pen), malampuson ang lecture. Karon gisulayan nako pagpangita kini nga publikasyon, nga karaan na. Nahinumdom lang ko sa ngalan sa tagsulat... Ang mga pagpangita sa Internet milungtad ug dugay... bug-os nga kinse minutos. Gihunahuna ko kini uban ang usa ka ngisi ug gamay nga dili makatarunganon nga pagmahay.
Balik ta sa Keplera ug geometry. Dayag, gitagna ni Plato ang paglungtad sa ikalima nga regular nga porma tungod kay kulang siya sa usa ka butang nga makapahiusa, nga naglangkob sa tibuok kalibutan. Tingali mao nga iyang gisugo ang usa ka estudyante (Theajtet) sa pagpangita kaniya. Ingon nga kaniadto, mao usab kini, base sa kung diin nadiskobrehan ang dodecahedron. Gitawag nato kini nga kinaiya sa Plato pantheism. Ang tanan nga mga siyentista, hangtod sa Newton, nagpadaog niini sa usa ka dako o gamay nga sukod. Sukad sa labing makatarunganon nga ikanapulog-walo nga siglo, ang impluwensya niini mius-os pag-ayo, bisan kung dili kita angay ikaulaw sa kamatuoran nga kitang tanan nagpadaog niini sa usa ka paagi o sa lain.
Sa konsepto ni Kepler sa pagtukod sa solar system, ang tanan husto, ang eksperimento nga datos nahiuyon sa teorya, ang teorya lohikal nga managsama, matahum kaayo ... apan hingpit nga sayup. Sa iyang panahon, unom lang ka planeta ang nailhan: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter ug Saturn. Nganong unom ra ka planeta? pangutana ni Kepler. Ug unsa nga regularidad ang nagtino sa ilang gilay-on gikan sa Adlaw? Nagtuo siya nga konektado ang tanan, kana geometry ug cosmogony suod nga relasyon sa usag usa. Gikan sa mga sinulat sa karaang mga Grego, nahibal-an niya nga adunay lima lamang ka regular nga polyhedra. Iyang nakita nga adunay lima ka haw-ang tali sa unom ka orbit. Busa tingali ang matag usa niining libre nga mga luna katumbas sa pipila ka regular nga polyhedron?
Human sa pipila ka tuig nga obserbasyon ug teoretikal nga buhat, iyang gimugna ang mosunod nga teoriya, uban sa tabang nga iyang gikalkula nga tukma ang mga sukod sa mga orbit, nga iyang gipresentar sa libro nga "Mysterium Cosmographicum", nga gipatik niadtong 1596: Hunahunaa ang usa ka higanteng lingin, ang diyametro niini mao ang diyametro sa orbito sa Mercury sa tinuig nga paglihok niini libot sa adlaw. Dayon hunahunaa nga sa niini nga lingin adunay usa ka regular nga octahedron, sa ibabaw niini usa ka lingin, sa ibabaw niini usa ka icosahedron, sa ibabaw niini pag-usab sa usa ka lingin, sa ibabaw niini usa ka dodecahedron, sa ibabaw niini sa laing lingin, sa ibabaw niini usa ka tetrahedron, unya pag-usab sa usa ka lingin, usa ka cube ug, sa katapusan, sa niini nga cube ang bola gihulagway.
Si Kepler mihinapos nga ang mga diametro niining sunodsunod nga mga sphere mao ang mga diametro sa mga orbito sa ubang mga planeta: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, ug Saturn. Ang teoriya ingon og tukma kaayo. Ikasubo, kini nahiuyon sa eksperimento nga datos. Ug unsa pa ang mas maayo nga ebidensya sa pagkahusto sa usa ka teorya sa matematika kaysa sa pagsuwat niini sa data sa eksperimento o datos sa obserbasyon, labi na "gikuha gikan sa langit"? Gi-summarize nako kini nga mga kalkulasyon sa Table 2. Busa unsa ang gibuhat ni Kepler? Gisulayan nako ug gisulayan hangtod nga kini molihok, kana, kung ang pagsumpo (han-ay sa mga sphere) ug ang sangputanan nga mga kalkulasyon nahiuyon sa datos sa obserbasyon. Ania ang modernong mga numero ug kalkulasyon sa Kepler:
Ang usa mahimong magpadala sa kaikag sa teorya ug motuo nga ang mga pagsukod sa langit dili tukma, ug dili ang mga kalkulasyon nga gihimo sa kahilom sa workshop. Ikasubo, karon nahibal-an namon nga adunay labing menos siyam ka mga planeta ug nga ang tanan nga mga sulagma sa mga resulta usa lamang ka sulagma. Kaluoy. Nindot kaayo kadto...
