balik nga kaanyag
Adunay daghang mga paghisgot bahin sa "kaanyag sa mga kaatbang", ug dili lamang sa matematika. Hinumdumi nga ang kaatbang nga mga numero mao kadtong lahi lamang sa timaan: plus 7 ug minus 7. Ang sum sa kaatbang nga mga numero kay sero. Apan alang kanamo (ie mga mathematician) ang mga reciprocal mas makapaikag. Kung ang produkto sa mga numero katumbas sa 1, nan kini nga mga numero balit-ad sa usag usa. Ang matag numero adunay kaatbang, ang matag non-zero nga numero adunay kabaliktaran. Ang tumbas sa tumbas mao ang liso.
Ang pagbag-o mahitabo bisan asa nga duha ka gidaghanon ang may kalabutan sa usag usa aron kung ang usa motaas, ang lain mokunhod sa katugbang nga gikusgon. Ang "may kalabotan" nagpasabot nga ang produkto niini nga mga gidaghanon dili mausab. Nahinumdom kami gikan sa eskuylahan: kini usa ka kabaliktaran nga proporsiyon. Kung gusto nako nga makaabut sa akong padulngan nga doble nga paspas (pananglitan, putlon ang oras sa katunga), kinahanglan nako nga doblehon ang akong katulin. Kung ang gidaghanon sa usa ka selyado nga sudlanan nga adunay gas makunhuran sa n ka beses, nan ang presyur niini motaas sa n ka beses.
Sa elementarya nga edukasyon, mainampingon natong mailhan ang kalainan ug paryente nga pagtandi. "Pila pa"? - "Pila ka beses pa?"
Ania ang pipila ka mga kalihokan sa eskwelahan:
1 nga trabaho. Sa duha ka positibo nga mga kantidad, ang una 5 ka beses nga mas dako kaysa sa ikaduha ug sa samang higayon 5 ka beses nga mas dako kaysa sa una. Unsa ang mga sukod?
2 nga trabaho. Kung ang usa ka numero 3 mas dako kay sa ikaduha, ug ang ikaduha kay 2 mas dako kay sa ikatulo, unsa ka dako ang unang numero kay sa ikatulo? Kung ang una nga positibo nga numero doble ang ikaduha, ug ang una nga numero tulo ka pilo sa ikatulo, pila ka beses ang una nga numero nga mas dako kaysa ikatulo?
3 nga trabaho. Sa buluhaton 2, natural nga mga numero lamang ang gitugotan. Posible ba ang maong kahikayan nga gihubit didto?
4 nga trabaho. Sa duha ka positibo nga kantidad, ang una mao ang 5 ka beses ang ikaduha, ug ang ikaduha mao ang 5 ka beses ang una. Posible ba kini?
Ang konsepto sa "average" o "average" ingon og yano kaayo. Kung magbisikleta ko og 55 km sa Lunes, 45 km sa Martes, ug 80 km sa Miyerkules, sa kasagaran nagbisikleta ko og 60 km kada adlaw. Kami kinasingkasing nga miuyon sa kini nga mga kalkulasyon, bisan kung kini medyo katingad-an tungod kay wala ako nagmaneho sa 60 km sa usa ka adlaw. Ingon ka dali ra namon gidawat ang bahin sa usa ka tawo: kung ang duha ka gatos nga mga tawo mobisita sa usa ka restawran sa sulod sa unom ka adlaw, nan ang kasagaran nga adlaw-adlaw nga rate mao ang 33 ug ikatulo nga mga tawo. Hm!
Adunay mga problema lamang sa kasagaran nga gidak-on. Ganahan ko magbisikleta. Mao nga gipahimuslan nako ang tanyag sa ahensya sa pagbiyahe nga "Mangadto kita" - naghatud sila sa mga bagahe sa hotel, diin ang kliyente nagbisikleta alang sa mga katuyoan sa paglingaw-lingaw. Sa Biyernes nagmaneho ako sulod sa upat ka oras: ang unang duha sa gikusgon nga 24 km kada oras. Unya gikapoy kaayo ko nga sa sunod nga duha sa gikusgon nga 16 lang kada oras. Unsa ang akong kasagaran nga katulin? Siyempre (24+16)/2=20km=20km/h.
Sa Sabado, bisan pa niana, ang mga bagahe gibilin sa hotel, ug miadto ako sa pagtan-aw sa mga kagun-oban sa kastilyo, nga 24 km ang gilay-on, ug sa pagkakita nako niini, mibalik ako. Nagdrayb ko og usa ka oras sa usa ka direksyon, mibalik og mas hinay, sa gikusgon nga 16 km kada oras. Unsa ang akong kasagaran nga katulin sa ruta sa hotel-castle-hotel? 20 km kada oras? Siyempre dili. Human sa tanan, ako nagmaneho sa usa ka kinatibuk-an nga 48 km ug kini gikuha kanako usa ka oras ("didto") ug usa ka oras ug tunga pabalik. 48 km sulod sa duha ug tunga ka oras, i.e. oras 48/2,5=192/10=19,2 km! Niini nga sitwasyon, ang kasagaran nga katulin dili ang aritmetika nga kahulogan, apan ang harmonic sa gihatag nga mga bili:
ug kining duha ka andana nga pormula mabasa sama sa mosunod: ang harmonic mean sa positibong numero mao ang reciprocal sa arithmetic mean sa ilang reciprocal. Ang reciprocal sa sum sa mga reciprocals makita sa daghang mga chorus sa mga buluhaton sa eskwelahan: kung ang usa ka trabahante magkalot ug oras, ang lain - b oras, unya, magtinabangay, sila magkalot sa oras. pool sa tubig (usa kada oras, ang lain sa b oras). Kung ang usa ka resistor adunay R1 ug ang lain adunay R2, nan sila adunay parallel nga pagsukol.
Kung ang usa ka kompyuter makasulbad sa problema sa mga segundo, ang lain nga kompyuter sa b segundo, unya kung magtinabangay sila...
Hunong! Dinhi natapos ang analogy, tungod kay ang tanan nagdepende sa katulin sa network: ang kahusayan sa mga koneksyon. Ang mga trabahante mahimo usab nga makababag o magtinabangay sa usag usa. Kung ang usa ka tawo makakalot ug atabay sulod sa walo ka oras, mahimo ba kini sa kawaloan ka trabahante sulod sa 1/10 sa usa ka oras (o 6 ka minuto)? Kung ang unom ka porter magdala sa piano ngadto sa unang andana sulod sa 6 ka minuto, unsa kadugay ang usa kanila sa paghatod sa piano ngadto sa ikakan-uman nga andana? Ang pagkawalay hinungdan sa ingon nga mga problema nagpahinumdom sa limitado nga paggamit sa tanan nga matematika sa mga problema "gikan sa kinabuhi".
Mahitungod sa tibuok magbabaligya
Ang mga timbangan wala na gigamit. Hinumdomi nga ang usa ka gibug-aton gibutang sa usa ka panaksan sa ingon nga mga timbangan, ug ang mga butang nga gitimbang gibutang sa pikas, ug sa diha nga ang gibug-aton anaa sa panimbang, nan ang mga butang mitimbang sama sa gibug-aton. Siyempre, ang duha ka bukton sa gibug-aton nga gibug-aton kinahanglan nga parehas nga gitas-on, kung dili ang pagtimbang mahimong dili husto.
O sige. Hunahunaa ang usa ka tindera nga adunay gibug-aton nga adunay dili patas nga leverage. Hinuon, gusto niya nga magmatinud-anon sa mga kustomer ug magtimbang sa mga butang sa duha ka batch. Una, gibutang niya ang usa ka gibug-aton sa usa ka pan, ug sa lain usa ka katumbas nga kantidad sa mga butang - aron ang mga timbangan balanse. Unya iyang gitimbang ang ikaduhang "katunga" sa mga butang sa reverse order, nga mao, iyang gibutang ang gibug-aton sa ikaduhang panaksan, ug ang mga butang sa una. Tungod kay ang mga kamot dili managsama, ang "katunga" dili managsama. Ug limpyo ang tanlag sa magbabaligya, ug gidayeg sa mga pumapalit ang iyang pagkamatinud-anon: "Ang akong gikuha dinhi, akong gidugang."
Apan, atong tan-awon pag-ayo ang kinaiya sa usa ka magbabaligya kinsa gusto nga mahimong matinud-anon bisan pa sa delikado nga gibug-aton. Himoa nga ang mga bukton sa balanse adunay mga gitas-on a ug b. Kung ang usa sa mga panaksan gikargahan og usa ka kilo nga gibug-aton ug ang usa adunay x nga mga butang, nan ang mga timbangan anaa sa panimbang kung ax = b sa unang higayon ug bx = a sa ikaduhang higayon. Busa, ang unang bahin sa mga butang katumbas sa b / usa ka kilo, ang ikaduha nga bahin mao ang a / b. Ang maayo nga gibug-aton adunay a = b, mao nga ang pumapalit makadawat og 2 kg nga mga butang. Atong tan-awon kung unsa ang mahitabo kung ang usa ka ≠ b. Unya a – b ≠ 0 ug gikan sa gipamubu nga pormula sa pagpadaghan nga naa kanato
Nakaabot kami sa usa ka wala damha nga resulta: ang daw patas nga pamaagi sa "pag-aberids" sa pagsukod niini nga kaso nagtrabaho sa kaayohan sa pumapalit, kinsa nakadawat og dugang nga mga butang.
5 nga trabaho. (Importante, dili sa matematika!). Ang usa ka lamok adunay gibug-aton nga 2,5 milligrams, ug ang usa ka elepante lima ka tonelada (kini tama nga datos). Kalkulahin ang arithmetic mean, geometric mean, ug harmonic mean sa lamok ug elepante nga masa (mga gibug-aton). Susihon ang mga kalkulasyon ug tan-awa kung kini adunay bisan unsang kahulugan gawas sa mga ehersisyo sa aritmetika. Atong tan-awon ang ubang mga pananglitan sa mga kalkulasyon sa matematika nga dili makatarunganon sa "tinuod nga kinabuhi". Tip: Nakakita na kami ug usa ka pananglitan niini nga artikulo. Nagpasabot ba kini nga ang usa ka wala mailhi nga estudyante kansang opinyon akong nakit-an sa Internet husto: "Gibuang sa matematika ang mga tawo nga adunay mga numero"?
Oo, miuyon ako nga sa kahalangdon sa matematika, mahimo nimong "paglimbong" ang mga tawo - matag ikaduha nga ad sa shampoo nag-ingon nga kini nagdugang sa fluffiness sa pipila ka porsyento. Pangitaon ba nato ang ubang mga pananglitan sa mapuslanon nga mga himan sa adlaw-adlaw nga magamit alang sa kriminal nga kalihokan?
Mga gramo!
Ang titulo niini nga tudling kay usa ka berbo (first person plural) dili noun (nominative plural sa one thousandth of a kilo). Ang panag-uyon nagpasabot sa kahusay ug musika. Para sa karaang mga Griyego, ang musika maoy usa ka sanga sa siyensiya - kinahanglang dawaton nga kon ato kining isulti, atong ibalhin ang kasamtangang kahulogan sa pulong "siyensiya" ngadto sa panahon sa wala pa ang atong panahon. Si Pythagoras nabuhi sa ika-XNUMX nga siglo BC. Wala lang siya kaila sa kompyuter, mobile phone ug e-mail, apan wala usab nahibal-an kung kinsa sila Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne ug Cicero. Wala siya kahibalo sa Arabic o bisan sa Romanong mga numero (gigamit kini mga ika-XNUMX nga siglo BC), wala siya kahibalo kung unsa ang Punic Wars ... Apan nahibal-an niya ang musika ...
Nahibal-an niya nga sa kinuldasan nga mga instrumento ang coefficients sa vibration inversely proportional sa gitas-on sa vibrating parts sa mga string. Nahibal-an niya, nahibal-an niya, dili niya kini mapahayag sa paagi nga atong gibuhat karon.
Ang mga frequency sa duha ka string vibrations nga naglangkob sa usa ka octave anaa sa usa ka 1:2 ratio, nga mao, ang frequency sa mas taas nga nota mao ang doble sa frequency sa ubos nga usa. Ang husto nga ratio sa vibration alang sa ikalima mao ang 2:3, ikaupat mao ang 3:4, puro mayor nga ikatulo mao ang 4:5, menor nga ikatulo mao ang 5:6. Nindot kini nga mga agwat sa konsonante. Unya adunay duha ka neyutral, uban sa vibration ratios sa 6:7 ug 7:8, unya dissonant - usa ka dako nga tono (8:9), gamay nga tono (9:10). Kini nga mga tipik (mga ratios) sama sa mga ratios sa sunud-sunod nga mga miyembro sa usa ka han-ay nga gitawag sa mga mathematician (tungod niini nga rason) nga harmonic series:
kay usa ka theoretically infinite sum. Ang ratio sa mga oscillations sa oktaba mahimong isulat ingon nga 2:4 ug ibutang ang ikalima sa taliwala nila: 2:3:4, nga mao, atong bahinon ang oktaba ngadto sa ikalima ug ikaupat. Gitawag kini nga harmonic segment division sa matematika:
bugas. 1. Para sa musikero: pagbahin sa octave AB ngadto sa ikalima nga AC.Para sa Mathematician: Harmonic Segmentation
Unsa ang akong gipasabut kung nagsulti ako (sa ibabaw) sa usa ka theoretically infinite sum, sama sa harmonic series? Kini nahimo nga ang ingon nga kantidad mahimong bisan unsang dako nga numero, ang panguna nga butang mao nga gidugang namon sa dugay nga panahon. Adunay nagkagamay ug nagkagamay nga mga sangkap, apan adunay daghan ug daghan niini. Unsay nagpatigbabaw? Dinhi kita mosulod sa gingharian sa mathematical analysis. Kini nahimo nga ang mga sangkap nahurot, apan dili kaayo dali. Akong ipakita nga pinaagi sa pagkuha og igo nga mga sagol, mahimo nakong sumaryo:
arbitraryong dako. Atong kuhaon ang "pananglitan" n = 1024. Atong grupoon ang mga pulong sama sa gipakita sa hulagway:
Sa matag parentesis, ang matag pulong mas dako kay sa nauna, gawas, siyempre, ang kataposan, nga katumbas sa iyang kaugalingon. Sa mosunod nga mga braket, kita adunay 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ug 512 nga mga sangkap; ang bili sa sum sa matag parentesis mas dako pa kay sa ½. Kining tanan labaw pa sa 5½. Ang mas tukma nga mga kalkulasyon magpakita nga kini nga kantidad gibana-bana nga 7,50918. Dili daghan, apan kanunay, ug makita nimo nga pinaagi sa pagkuha sa bisan unsang dako, mahimo nako nga labaw sa bisan unsang numero. Kini usa ka hinay kaayo (pananglitan, kami nag-una sa napulo nga adunay mga sangkap nga nag-inusara), apan ang walay katapusan nga pagtubo kanunay nga nakadani sa mga matematiko.
Panaw sa infinity uban sa harmonic nga serye
Ania ang usa ka puzzle sa pipila ka seryoso nga matematika. Kami adunay walay kinutuban nga suplay sa rectangular blocks (unsay akong isulti, rectangular!) nga adunay mga sukod, ingnon ta, 4 × 2 × 1. Hunahunaa ang usa ka sistema nga naglangkob sa pipila (sa fig. 2 - upat) nga mga bloke, gihan-ay aron ang una gikiling sa ½ sa gitas-on niini, ang ikaduha gikan sa taas sa ¼ ug uban pa, ang ikatulo sa usa nga ikaunom. Aw, tingali aron mahimo kini nga lig-on, atong ikiling ang una nga tisa nga gamay. Dili igsapayan ang mga kalkulasyon.
bugas. 2. Pagtino sa sentro sa grabidad
Sayon sab sabton nga tungod kay ang numero nga gilangkoban sa unang duha ka bloke (nag-ihap gikan sa ibabaw) adunay sentro sa simetriya sa punto B, nan ang B mao ang sentro sa grabidad. Atong ipasabut nga geometrical ang sentro sa grabidad sa sistema, nga gilangkuban sa tulo ka mga bloke sa ibabaw. Ang usa ka yano kaayo nga argumento igo na dinhi. Atong hunahunaon nga bahinon ang tulo-ka-block nga komposisyon sa duha ka taas ug ikatulo nga ubos. Kini nga sentro kinahanglan nga nahimutang sa seksyon nga nagkonektar sa mga sentro sa grabidad sa duha ka bahin. Sa unsa nga punto niini nga yugto?
Adunay duha ka paagi sa pagtudlo. Sa una, atong gamiton ang obserbasyon nga kini nga sentro kinahanglan nga nahimutang sa tunga-tunga sa tulo ka bloke nga piramide, i.e., sa usa ka tul-id nga linya nga nag-intersect sa ikaduha, tunga-tunga nga bloke. Sa ikaduha nga paagi, atong nasabtan nga tungod kay ang duha ka tumoy nga mga bloke adunay kinatibuk-ang masa nga doble sa usa ka bloke #3 (ibabaw), ang sentro sa grabidad niini nga seksyon kinahanglan doble nga mas duol sa B kay sa sentro. S sa ikatulo nga bloke. Sa susama, atong makit-an ang sunod nga punto: atong ikonektar ang nakit-an nga sentro sa tulo ka mga bloke sa sentro S sa ikaupat nga bloke. Ang sentro sa tibuok nga sistema anaa sa gitas-on 2 ug sa punto nga nagbahin sa bahin sa 1 ngadto sa 3 (nga mao, sa ¾ sa gitas-on niini).
Ang mga kalkulasyon nga atong buhaton sa usa ka gamay nga dugang nga modala ngadto sa resulta nga gipakita sa Fig. rys. siyam. Ang sunud-sunod nga mga sentro sa grabidad gikuha gikan sa tuo nga ngilit sa ubos nga bloke pinaagi sa:
Busa, ang projection sa sentro sa grabidad sa piramide kanunay anaa sa base. Ang torre dili matumba. Karon atong tan-awon fig. 3 ug sa makadiyot, atong gamiton ang ikalima nga bloke gikan sa ibabaw isip base (ang usa nga gimarkahan sa mas hayag nga kolor). Top hilig:
busa, ang wala nga ngilit niini kay 1 pa sa tuo nga ngilit sa base. Ania ang sunod nga swing:
Unsa ang pinakadako nga swing? Nakahibalo na kami! Walay labing dako! Pagkuha bisan sa pinakagamay nga mga bloke, mahimo ka makakuha usa ka overhang nga usa ka kilometro - sa kasubo, sa matematika lamang: ang tibuuk nga Yuta dili igo aron magtukod daghang mga bloke!
bugas. 3. Pagdugang og mga bloke
Karon ang mga kalkulasyon nga among gibiyaan sa ibabaw. Among kuwentahon ang tanang gilay-on nga "horizontal" sa x-axis, tungod kay kana ang tanan niini. Ang punto A (ang sentro sa grabidad sa unang bloke) maoy 1/2 gikan sa tuo nga ngilit. Ang punto B (ang sentro sa duha ka block system) kay 1/4 ang gilay-on gikan sa tuo nga kilid sa ikaduhang block. Himoa nga ang sinugdanan nga punto mao ang katapusan sa ikaduhang bloke (karon kita magpadayon sa ikatulo). Pananglitan, asa ang sentro sa grabidad sa single block #3? Ang katunga sa gitas-on niini nga block, busa, kini 1/2 + 1/4 = 3/4 gikan sa among reference point. Asa ang punto C? Sa dos-tersiya sa bahin tali sa 3/4 ug 1/4, i.e. sa punto sa wala pa, usbon nato ang reference point sa tuo nga kilid sa ikatulo nga block. Ang sentro sa grabidad sa tulo ka block nga sistema karon gikuha gikan sa bag-ong reference point, ug uban pa. Sentro sa grabidad Cn Ang usa ka tore nga gilangkuban sa n bloke mao ang 1/2n ang gilay-on gikan sa dali nga reference point, nga mao ang tuo nga ngilit sa base block, i.e. ang nth block gikan sa ibabaw.
Tungod kay ang mga serye sa mga reciprocal managlahi, kita makakuha og bisan unsa nga dako nga kalainan. Mapatuman ba gyud kini? Kini sama sa usa ka walay katapusan nga tisa nga torre - sa madugay o sa madali kini mahugno ubos sa iyang kaugalingong gibug-aton. Sa among laraw, ang gamay nga kasaypanan sa pagbutang sa block (ug ang hinay nga pagtaas sa partial nga kantidad sa serye) nagpasabut nga dili kami makaabut sa layo.
