Yano nga mga modelo nga adunay komplikado nga pamatasan i.e. kagubot

Ang kompyuter usa ka himan nga labi nga gigamit sa mga siyentista aron mahibal-an ang mga sekreto nga gitago sa kinaiyahan. Ang pagmodelo, uban ang eksperimento ug teorya, nahimong ikatulo nga paagi sa pagtuon sa kalibutan.

Tulo ka tuig ang milabay, sa Unibersidad sa Silesia, nagsugod kami sa usa ka programa sa paghiusa sa mga pamaagi sa kompyuter sa edukasyon. Ingon usa ka sangputanan, daghang labi ka makapahinam nga mga materyal nga didaktiko ang nahimo, nga nagpadali ug labi ka lawom sa pagtuon sa daghang mga hilisgutan. Ang Python gipili isip nag-unang himan, nga, uban sa gahum sa anaa nga siyentipikong mga librarya, tingali ang pinakamaayong solusyon alang sa "mga eksperimento sa kompyuter" nga adunay mga equation, mga hulagway o datos. Usa sa labing makapaikag nga pagpatuman sa usa ka kompleto nga workbench mao ang Sage [2]. Kini usa ka bukas nga panagsama sa usa ka sistema sa algebra sa kompyuter nga adunay sinultian nga Python, ug gitugotan ka usab nga magsugod dayon sa pagdula gamit ang usa ka web browser ug usa sa posible nga mga kapilian sa pag-access pinaagi sa usa ka serbisyo sa panganod [3] o usa ka server sa kompyuter diin ang interactive. nga bersyon niini nga artikulo gibase sa [4] .

Kagubot sa ekolohiya

Sa 1st nga mga tuig sa Oxford University, ang Australian scientist nga si Robert May nagtuon sa theoretical nga aspeto sa demographic dynamics. Iyang gisummarize ang iyang trabaho sa usa ka papel nga migawas sa journal Nature ubos sa provocative nga titulo nga "Simple Mathematical Models with Very Complex Dynamics" [XNUMX]. Sulod sa mga katuigan, kini nga artikulo nahimong usa sa labing gisitar nga mga buhat sa teoretikal nga ekolohiya. Unsay hinungdan sa maong interes niini nga buluhaton?

Ang klasikal nga problema sa dynamics sa populasyon mao ang pagkalkulo sa umaabot nga populasyon sa usa ka partikular nga espisye, nga gihatag sa iyang kahimtang karon. Sa matematika, ang mga ekosistema giisip nga pinakasimple diin ang kinabuhi sa usa ka henerasyon sa populasyon molungtad sa usa ka panahon. Usa ka maayong pananglitan mao ang populasyon sa mga insekto nga moagi sa kompletong metamorphosis sa usa ka panahon, sama sa mga alibangbang. Ang panahon natural nga gibahin ngadto sa discrete periods2 nga katumbas sa mga siklo sa kinabuhi sa populasyon. Busa, ang mga equation nga naghulagway sa ingon nga ekosistema natural nga adunay gitawag nga discrete nga oras, i.e. t = 1,2,3…. Giatubang ni Robert May ang ingon nga mga dinamika, taliwala sa ubang mga butang. Sa iyang pangatarungan, iyang gipasimple ang ekosistema ngadto sa usa ka espisye kansang populasyon kay quadratic function sa miaging tuig nga populasyon. Diin gikan kini nga modelo?

Ang pinakasimple nga discrete equation nga naghulagway sa ebolusyon sa usa ka populasyon usa ka linear nga modelo:

diin ang Ni mao ang kadagaya sa i-th season, ug ang Ni + 1 naghulagway sa populasyon sa sunod nga season. Sayon nga makita nga ang ingon nga equation mahimong mosangput sa tulo nga mga senaryo. Kung ang a = 1, ang ebolusyon dili magbag-o sa gidak-on sa populasyon, ug <1 mosangpot sa pagkapuo, ug ang kaso nga a> 1 nagpasabut nga walay kinutuban nga pagtubo sa populasyon. Kini mosangpot sa pagkadili balanse sa kinaiyahan. Tungod kay limitado ang tanan sa kinaiyahan, makatarunganon nga i-adjust kini nga equation aron matubag ang limitado nga kantidad sa mga kapanguhaan. Hunahunaa nga ang mga peste mokaon sa lugas, nga matag tuig parehas ra. Kung ang mga insekto gamay ra kung itandi sa gidaghanon sa pagkaon nga mahimo nilang masanay, mahimo silang mosanay sa hingpit nga gahum sa pagsanay, nga gitino sa matematika pinaagi sa kanunay nga a> 1. Apan, samtang ang gidaghanon sa mga peste modaghan, ang pagkaon nihit ug ang kapasidad sa pagsanay mokunhod. Sa usa ka kritikal nga kaso, mahanduraw sa usa nga daghang mga insekto ang natawo nga mokaon sa tanan nga mga lugas sa wala pa sila adunay panahon sa pagpanganak, ug ang populasyon mamatay. Ang usa ka modelo nga nagkonsiderar niini nga epekto sa limitado nga pag-access sa pagkaon una nga gisugyot ni Verhulst kaniadtong 1838. Niini nga modelo, ang rate sa pagtubo dili kanunay, apan nagdepende sa kahimtang sa populasyon:

Ang relasyon tali sa rate sa pagtubo a ug Ni kinahanglan adunay mosunod nga kabtangan: kung ang populasyon modaghan, ang rate sa pagtubo kinahanglan nga mokunhod tungod kay ang pag-access sa pagkaon lisud. Siyempre, adunay daghang mga gimbuhaton nga adunay kini nga kabtangan: kini ang mga top-down nga gimbuhaton. Gisugyot ni Verhulst ang mosunod nga relasyon:

diin ang a>0 ug kanunay nga K>0 nagpaila sa mga kahinguhaan sa pagkaon ug gitawag nga kapasidad sa palibot. Sa unsang paagi ang pagbag-o sa K makaapekto sa gikusgon sa pagtubo sa populasyon? Kung ang K modaghan, ang Ni/K mokunhod. Sa baylo, kini modala ngadto sa kamatuoran nga ang 1-Ni/K motubo, nga nagpasabot nga kini motubo. Kini nagpasabot nga ang gidaghanon sa pagtubo nagkadaghan ug ang populasyon mas paspas. Busa atong usbon ang miaging modelo (1) pinaagi sa paghunahuna nga ang rate sa pagtubo mausab sama sa equation (3). Unya atong makuha ang equation

Kini nga equation mahimong isulat isip recursive equation

diin ang xi = Ni / K ug xi + 1 = Ni + 1 / K nagpasabot sa gibag-o nga populasyon sa panahon i ug oras i + 1. Ang equation (5) gitawag nga logistic equation.

Mahimo nga sa ingon ka gamay nga pagbag-o, ang among modelo dali nga analisahon. Atong susihon kini. Tagda ang equation (5) para sa parameter a = 0.5 sugod sa inisyal nga populasyon x0 = 0.45. Ang sequential population values ​​mahimong makuha gamit ang recursive equation (5):

x₁= ax₀(1st₀)

x₂= ax₁(1st₁)

x₃= ax₂(1st₂)

Aron mapadali ang mga kalkulasyon sa (6), mahimo natong gamiton ang mosunod nga programa (gisulat kini sa Python ug mahimong ipadagan, lakip sa ubang mga butang, sa Sage nga plataporma. Among girekomendar nga basahon nimo ang libro nga http://icse.us.edu .pl/e-book . ), nga nagsundog sa among modelo:

sa usa ka = 0.5 x = 0.45 para sa i sa range (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      imprinta x

Gikalkula namon ang sunud-sunod nga mga kantidad sa xi ug namatikdan nga sila adunay posibilidad nga zero. Pinaagi sa pag-eksperimento sa kodigo sa ibabaw, sayon ​​usab nga makita nga kini tinuod bisan pa sa inisyal nga bili sa x0. Kini nagpasabot nga ang populasyon kanunay nga nangamatay.

Sa ikaduhang yugto sa pagtuki, atong dugangan ang bili sa parameter a sa bisan unsang bili sa range ae (1,3). Kini nahimo nga unya ang han-ay xi moadto sa usa ka piho nga kantidad x * > 0. Ang paghubad niini gikan sa punto sa panglantaw sa ekolohiya, makaingon kita nga ang gidak-on sa populasyon gitakda sa usa ka lebel, nga dili mausab gikan sa panahon ngadto sa panahon. . Angay nga hinumdoman nga ang kantidad sa x * wala magdepende sa inisyal nga estado x0. Kini ang epekto sa pagpaningkamot sa ekosistema alang sa pagpalig-on - ang populasyon nag-adjust sa gidak-on niini sa abilidad sa pagpakaon sa kaugalingon. Sa matematika, giingon nga ang sistema lagmit sa usa ka lig-on nga pirmi nga punto, i.e. pagtagbaw sa pagkaparehas x = f(x) (nagpasabot kini nga sa sunod nga gutlo ang estado parehas sa miaging gutlo). Uban sa Sage, mahimo natong mahanduraw kini nga ebolusyon pinaagi sa pagplano sa populasyon sa paglabay sa panahon.

Ang ingon nga epekto sa pagpalig-on gipaabut sa mga tigdukiduki, ug ang logistic equation (5) dili unta makadani ug daghang atensyon kung dili alang sa katingala. Kini nahimo nga alang sa pipila nga mga kantidad sa parameter, ang modelo (5) naggawi sa dili matag-an nga paagi. Una, adunay mga periodic ug multiperiodic states. Ikaduha, sa matag lakang, dili patas ang pagbag-o sa populasyon, sama sa usa ka random nga paglihok. Ikatulo, adunay dakong pagkasensitibo sa mga inisyal nga kondisyon: duha ka halos dili mailhan nga inisyal nga mga estado mosangpot sa hingpit nga lahi nga ebolusyon sa populasyon. Ang tanan niini nga mga bahin mao ang kinaiya sa kinaiya nga susama sa usa ka bug-os nga random nga kalihukan ug gitawag deterministic kagubot.

Atong susihon kini nga kabtangan!

Una, atong ibutang ang bili sa parameter a = 3.2 ug tan-awon ang ebolusyon. Morag katingad-an nga niining panahona ang populasyon dili makaabot sa usa ka kantidad, apan duha, nga sunud-sunod nga mahitabo matag ikaduha nga panahon. Bisan pa, kini nahimo nga ang mga problema wala matapos didto. Uban sa a = 4, ang sistema dili na matag-an. Atong tan-awon ang numero (2) o kita mismo ang maghimo usa ka han-ay sa mga numero gamit ang kompyuter. Ang mga resulta makita nga puro random ug medyo lahi alang sa gamay nga lahi nga nagsugod nga populasyon. Bisan pa, ang matinagdanon nga magbabasa kinahanglan nga mosupak. Sa unsang paagi ang usa ka sistema nga gihulagway sa usa ka deterministikong equation1, bisan usa ka yano kaayo, molihok nga dili matag-an? Aw, tingali.

Ang usa ka bahin niini nga sistema mao ang talagsaon nga pagkasensitibo sa mga inisyal nga kondisyon. Igo na nga magsugod sa duha ka inisyal nga kondisyon nga magkalahi sa usa ka milyon, ug sa pipila lang ka mga lakang makakuha kita og hingpit nga lain-laing mga bili sa populasyon. Atong susihon sa kompyuter:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] para sa i sa range (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) imprinta x,y

Ania ang usa ka yano nga modelo sa deterministikong ebolusyon. Apan kini nga determinismo malimbongon, kini usa lamang ka determinismo sa matematika. Gikan sa usa ka praktikal nga punto sa pagtan-aw, ang sistema naglihok nga dili matag-an tungod kay dili gyud naton mabutang ang una nga mga kondisyon sa matematika nga eksakto. Sa tinuud, ang tanan gitino sa usa ka piho nga katukma: ang matag instrumento sa pagsukod adunay usa ka piho nga katukma, ug kini mahimong hinungdan sa praktikal nga dili matag-an sa mga sistema nga deterministiko nga adunay kabtangan sa kagubot. Ang usa ka pananglitan mao ang mga modelo sa pagtagna sa panahon, nga kanunay nagpakita sa usa ka kabtangan sa kagubot. Mao kini ang hinungdan nga ang dugay nga mga panagna sa panahon daotan kaayo.

Ang pagtuki sa gubot nga mga sistema lisud kaayo. Bisan pa, dali ra naton masulbad ang daghang mga misteryo sa kagubot sa tabang sa mga simulation sa kompyuter. Atong idrowing ang gitawag nga bifurcation diagram, diin atong ibutang ang mga bili sa parameter a ubay sa abscissa axis, ug ang stable fixed points sa logistic mapping ubay sa ordinate axis. Nakakuha kami mga stable nga puntos pinaagi sa pag-simulate sa daghang gidaghanon sa mga sistema nga dungan ug pagplano sa mga kantidad pagkahuman sa daghang mga sample nga oras. Sama sa imong gihunahuna, kini nanginahanglan daghang mga kalkulasyon. Atong sulayan nga "maampingon" nga iproseso ang mosunod nga mga kantidad:

import numpy ingon np Nx = 300 Nga = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.zero ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) para sa i sa range (100): x=a*x*(1-x) pt = [a_, x_] para sa a_, x_ c zip(a.flatten(),x.flatten())] punto (pt, gidak-on = 1, gidak-on sa figs = (7,5))

Kita kinahanglan nga makakuha og usa ka butang nga susama sa numero (3). Unsaon paghubad niini nga drowing? Pananglitan, uban sa bili sa parameter a = 3.3, kita adunay 2 stable fixed points (ang gidaghanon sa populasyon parehas sa matag ikaduhang season). Bisan pa, alang sa parameter a = 3.5 kami adunay 4 nga kanunay nga puntos (matag ikaupat nga panahon ang populasyon adunay parehas nga numero), ug alang sa parameter a = 3.56 kami adunay 8 nga kanunay nga puntos (matag ikawalo nga panahon ang populasyon adunay parehas nga numero). Apan alang sa parameter nga a≈3.57, kita adunay walay katapusan nga daghang mga piho nga mga punto (ang gidak-on sa populasyon dili na masubli ug mausab sa dili matag-an nga mga paagi). Bisan pa, sa usa ka programa sa kompyuter, mahimo naton usbon ang sakup sa parameter a ug susihon ang walay katapusan nga geometriko nga istruktura sa kini nga diagram gamit ang among kaugalingon nga mga kamot.

Kini mao lamang ang tumoy sa iceberg. Liboan ka mga siyentipikong papel ang gisulat bahin niini nga equation, apan gitago gihapon niini ang mga sekreto niini. Uban sa tabang sa simulation sa kompyuter, mahimo nimo, nga wala gani modangop sa mas taas nga matematika, magdula sa pioneer sa kalibutan sa nonlinear dynamics. Kami nagdapit kanimo sa pagbasa sa online nga bersyon nga adunay mga detalye sa daghang mga makapaikag nga mga kabtangan sa logistic equation ug makapaikag nga mga paagi aron mahanduraw kini.

¹ Ang usa ka deterministikong balaod usa ka balaod diin ang umaabut talagsaon nga gitino sa inisyal nga estado. Ang antonym mao ang probabilistikong balaod. ² Sa matematika, ang "discrete" nagpasabut sa pagkuha sa mga kantidad gikan sa usa ka maihap nga set. Ang kaatbang mao ang "padayon".